第32回 シーズン4 エピソード2

並ぶ数、広がる数（後編）

僕「オセロゲームはもういいよ」

ユーリ「なんで？　ユーリにかなわないから？」

僕「そういうわけでもないけど、別の並べ方で遊んでみよう」

ユーリ「また、エル字？」

僕「いやいや、たとえばね……ユーリ、オセロの盤こっちによこして」

ユーリ「やだ」

僕「やだ……って」

ユーリ「ユーリが並べる。こんなのはどーお？」

僕「黒白のマダラ？」

ユーリ「ちがうちがう。ナナメに見るの」

僕「なるほどね。これは $1,2,3,\ldots$ という数列になるね。自然数の列だ。ああ、じゃ、これで遊ぼう。盤、貸して」

ユーリ「へーい」

ひとつずつ、ひとつずつ

僕「せっかく並べてくれたところ悪いけど、ナナメは考えにくいからヨコにするね」

ユーリ「これじゃつまんないよ」

僕「まあまあ。ヨコに並んだ石を数えていくと、何がわかるかな」

ユーリ「何がわかるかな……って、順番に $1,2,3,4,\ldots$ ってなってるだけじゃん」

僕「そうだね。オセロ盤は $8 \times 8$ だから、 ここでは $1,2,3,4,5,6,7,8$ までだけど、その気になればいくらでも続けられるね。自然数の列だ」

ユーリ「それで？」

僕「それでね、上から順番に見ていくと、いつも $1$ 個ずつ増えていることがわかる」

ユーリ「まー、そりゃそーだね。順番に並べたんだもん」

僕「これを見ると《$1,2,3,\ldots$》から《$1,1,1,\ldots$》ができることがわかるよね」

ユーリ「え？　どゆこと？」

僕「《どれだけ増えたか》を並べてやれば、新しい数列になるってことだよ。こんなふうに書いたほうがわかりやすいかな」

ユーリ「ふんふん」

僕「数列に並んでいるひとつひとつの数のことを、数列の項（こう）っていうんだけど」

ユーリ「こう？」

僕「うん、数列の項。 で、《$1,2,3,\ldots$》という数列の、隣り合った二つの項の差をとって《$1,1,1,\ldots$》という別の数列を作ったことになる」

ユーリ「別の数列？」

僕「そう。《$1,2,3,\ldots$》という数列から、《$1,1,1,\ldots$》という別の数列を作ったんだ。 こんなふうにして作った数列のことを階差（かいさ）数列っていうんだよ」

ユーリ「かいさすうれつ……ねえ、お兄ちゃん。《$1,1,1,\ldots$》みたいに同じ数が並ぶのも数列っていうの？」

僕「うん、いうよ。 $1$ という一つの定数が並んだ数列だから、定数列だね」

ユーリ「そーなんだ」

僕「だから、《$1,2,3,\ldots$》の階差数列は、《$1,1,1,\ldots$》という定数列になるということ」

ユーリ「ふむふむ」

ひとつおき

僕「今度はね、オセロに並べた石の列を《一つおき》に抜き出してみよう。するとこうなる」

ユーリ「一つおきだから、 $1,3,5,7$ になった」

僕「そうだね。オセロ盤の制限がなければ $1,3,5,7,9,11,13,\ldots$ と続けられるよね。 これは奇数の列になる」

ユーリ「ふんふん、そりゃそーだね」

僕「それでね、この奇数の列について上から順番に見ていこう。 そうすると、今度はいつも $2$ 個ずつ増えていることがわかる」

ユーリ「おおっ、これは！　……って、お兄ちゃん！　それは、あたりまえではないんでしょーか」

僕「ノリツッコミありがとう」

ユーリ「自然数の列は $1$ 個ずつ増えてたんだもん。一つおきなら $2$ 個ずつ増える計算じゃん」

僕「それじゃね、奇数の列（$1,3,5,\ldots$）の階差数列は何になる？」

ユーリ「カンタン、カンタン！　奇数の列（$1,3,5,\ldots$）の階差数列は $2,2,2,\ldots$ でしょ？」

僕「そうだね。 $2$ という定数から作られる定数列になる」

また、ひとつおき

僕「今度は、奇数の列を抜き出した残りをみてみよう」

ユーリ「偶数じゃん」

僕「うん、偶数の列だね」

僕「偶数の列の階差数列は何になるかな」

ユーリ「これもカンタン。 $2,2,2,\ldots$ でしょ？」

僕「そうだね」

ユーリ「あれ？　奇数の列も、偶数の列も、階差数列はおんなじだね」

僕「そうだね。どちらも $2,2,2,\ldots$ になる」

平方数

ユーリ「ねえお兄ちゃん。階差数列っていつも定数列になるの？」

僕「そうとは限らないよ」

ユーリ「でも、奇数も、偶数も、自然数も、定数列になったよ」

• 《奇数の列》の階差数列は、定数列 $2,2,2,\ldots$ になる。
• 《偶数の列》の階差数列は、定数列 $2,2,2,\ldots$ になる。
• 《自然数の列》の階差数列は、定数列 $1,1,1,\ldots$ になる。

僕「そうだね。でもたとえば、自由に考えた数列の階差数列を求めたら、定数列にはならないさ」

ユーリ「そかそか、そーだよね」

僕「じゃ、たとえば、平方数の列の階差数列はどうなると思う？」

ユーリ「どうなるの？」

僕「やってごらんよ」

ユーリ「えーと……そっか、順番に引けばいいだけか。最初が $4 - 1 = 3$ で、次が $9 - 4 = 5$ で……」

ユーリ「……できた。 $3, 5, 7, 9, 11, 13, \ldots$ って、これ、奇数の列！　これってエル字の石の個数じゃん！」

僕「そうだね。いまユーリが計算してくれたように、《平方数の列》の階差数列は、《$3$ から始めた奇数の列》になる」

ユーリ「くう、計算いらなかった！　やられた！」

謎の数列

僕「じゃ、ここでクイズだよ。この《謎の数列》は何だろうか」