第67回 シーズン7 エピソード7

分けて並べて置き換えて（前編）

宿題を終えて

ユーリ「……あーできたできた！　宿題おーわりっと」

僕「ユーリ、なんでわざわざうちに来て宿題するんだ？」

ユーリ「別にいーじゃん」

僕「まあいいけどね」

ユーリ「遊びにやってくるって……ちゃんと宿題もやってるよ」

僕「だから、地の文に突っ込むなって。メタな行動、自重」

ユーリ「ふーん」

僕「宿題は数学？」

ユーリ「気になる？　まー簡単な問題だよ。組み合わせの数。たとえばこんなの」

僕「なるほど。ユーリには簡単だろうな」

ユーリ「簡単だよん。こうでしょ？」

僕「そうだね」

ユーリ「こんなの簡単すぎ！」

僕「$10$ 通りだったら具体的に書くこともできるね」

僕「ところでユーリは、なぜこの計算で組み合わせの数が求められるか、わかってる？」

$$ \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} $$

ユーリ「え？ ……だって、 $5$ 人から $2$ 人選ぶけど、選ぶ順序考えないから半分」

僕「うんうん、そうだね。ユーリはよくわかっている」

ユーリ「えへん」

僕「こういうことだよね。 $5$ 人の中から $1$ 人選ぶ選び方は $5$ 通りある。 そしてそのそれぞれの場合に対して、残った $4$ 人の中からもう $1$ 人選ぶ選び方は $4$ 通りある」

ユーリ「うん」

僕「ここまでで $5 \times 4 = 20$ 通りの場合の数があるけれど、 それは選ぶ順序を区別してしまっている。 順列（じゅんれつ）を考えているわけだ。 でもいまは $1$ 人目にaを選んでから $2$ 人目にbを選ぶのと、 $1$ 人目にbを選んでから $2$ 人目にaを選ぶのとは区別しない。 組み合わせを考えたい。 つまりさっきの $20$ 通りはだぶって $2$ 倍数えていたことになる」

ユーリ「ふんふん」

僕「$20$ 通りの順列はabとbaの両方を数えてる。でも組み合わせはどちらか片方だけ数えればいい」

ユーリ「だから、半分になって $10$ 通り！　ユーリが言った通りじゃん」

僕「そうだね。ユーリの言った通りだよ。順序を考えて $2$ 人を選んでおいてから、 順序は考えないことにするから割り算する」

ユーリ「そーそー」

僕「$5$ 人から $3$ 人選ぶときも同じようにいえる？」

ユーリ「同じ計算じゃん！」

僕「そうだね。 $\dfrac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}$ の分子 $5 \times 4 \times 3$ は、 《$5$ 人から $3$ 人を選ぶ順列の数》で、 分母 $3 \times 2 \times 1$ は、 《順序を考えて選んだ $3$ 人を並べ替える場合の数》だね。 分母は《$3$ 人から $3$ 人を選ぶ順列の数》ともいえる」

$$ \begin{align*} & \REMTEXT{《$5$人から$3$人を選ぶ組み合わせの数》} \\ &= \dfrac{\REMTEXT{《$5$人から$3$人を選ぶ順列の数》}}{\REMTEXT{《$3$人から$3$人を選ぶ順列の数》}} \\ &= \dfrac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \\ \end{align*} $$

ユーリ「くどい説明だにゃー」

僕「そう？」

ユーリ「そーだよー。順序を考えて、とかいちいち」

僕「まあ、そうだけど、そこは大事なポイントだからなあ。 順序を考えて一列に並べるのが順列で、 順序を考えずに選ぶのは組み合わせ」

ユーリ「まーいーや。宿題終わったし、お兄ちゃん、何して遊ぶ？」

僕「ねえユーリ。ユーリはこの《$5$ 人から $3$ 人選ぶ組み合わせの数》を《一般化》できる？」

一般化

ユーリ「いっぱんか？」

僕「そう。《変数の導入による一般化》だね。 $5$ 人から $3$ 人選ぶんじゃなくて、 $n$ 人から $r$ 人選ぶ」

ユーリ「あ、知ってる知ってる。学校でちゃんと習ったもん。 それよりさ、お兄ちゃんって、組み合わせの数を${}_n\textrm{C}_r$じゃなくて、$\displaystyle\binom{n}{r}$って書くよね」

僕「そうだね。${}_n\textrm{C}_r$と$\displaystyle\binom{n}{r}$は同じ数だよ。 学校では${}_n\textrm{C}_r$を使うけど、 数学の本ではよく $\displaystyle\binom{n}{r}$ が使われるよ」

ユーリ「へーそーなんだ。ユーリは見たことないけど」

僕「それにね、${}_n\textrm{C}_r$よりも$\displaystyle\binom{n}{r}$の方が、 大切な $n$ や $r$ をはっきり書けるしね。 式も書きやすい。たとえば、${}_{n+r-1}\textrm{C}_{n-1}$よりも$\displaystyle\binom{n+r-1}{n-1}$の方が見やすいだろ？」

ユーリ「数式マニアは考えることが違うね」

僕「こんなのマニアじゃないよ……ところで $\displaystyle\binom{n}{r}$ はどうなった？」

ユーリ「どーなったって？」

僕「$\displaystyle\binom{n}{r}$ を求める話。 つまり、 $\displaystyle\binom{n}{r}$ を $n$ と $r$ を使った式で表せる？」

ユーリ「うん、知ってるよ。こーでしょ？」

僕「そうだね。 $n!$ は階乗（かいじょう）」

ユーリ「知ってるよ」

僕「$\displaystyle\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,\,(n-r)!}$ は正しいんだけど、 さっきユーリが答えた《$5$ 人から $3$ 人選ぶ組み合わせの数》と見比べると、 少し気になることがある」

ユーリ「気になること？」