第71回 シーズン8 エピソード1

大きな数（前編） ただいま無料

ダイニングで

ユーリ「……はふー。すごかったねー！」

僕「すごかったな……これが1977年の映画っていうのもすごいなあ」

ユーリ「これって、十秒ごとに $10$ 倍になってるんだよね」

僕「そうだね。映画の前半は、画面の一辺が十秒ごとに《$10$ 倍》になっていた。 後半になると逆に画面の一辺が十秒ごとに《$10$ 分の $1$》だったね」

ユーリ「宇宙がぐんぐん見えて、すごかったー」

僕「うん、すごいよね。十秒ごとに《$10$ 倍》になるってことは、 $1$ の後に十秒ごとに $0$ をつけていくわけだね」

ユーリ「最初、ピクニックしてたよね」

僕「そうだったね。人間のサイズから、 $0$ を $7$ 個つけただけで地球全体くらいのサイズになるんだ」

ユーリ「$1$ の後に $0$ が $7$ 個って、何メートルになるの？　いち、じゅう、ひゃく、せん……」

僕「一千万メートルだね。一万キロだ」

ユーリ「へー」

僕「$1$ の後に $0$ が $11$ 個つくと、太陽が画面に入ってきてた」

ユーリ「ちょっと待ってお兄ちゃん、なんでそんなの覚えてんの？」

僕「映画の右のほうに数字が出てたじゃないか。太陽が画面に入ってきたときは $10^{11}$ になってたよ」

ユーリ「いやいや、そんなの覚えてらんないって、ふつー」

僕「銀河系全体は $10^{21}$ メートル四方だったかな」

ユーリ「あのね、途中でめちゃ感動したのがね、 太陽系が星になったり、銀河系が星になったりするとこ」

僕「うん？」

ユーリ「ほらほら！　太陽系がどんどんちっちゃくなってたじゃん！」

僕「ああ……太陽系も、銀河系も、じゅうぶん離れると一つの星みたいだったってこと？」

ユーリ「そーそー！　それと、逆に小さい方も宇宙みたい！」

僕「あれだろ？　原子の世界の中に入っていったとき。 小さい世界を見てるはずなのに、何だか宇宙を見てるみたいだったよね」

ユーリ「それからね、宇宙で、星が《集まってる》のもおもしろかった」

僕「集まっているって？　太陽系のこと？」

ユーリ「うん。たとえば太陽系は星が集まってるじゃん？　でもしばらくすると今度は何にもない宇宙になって、 そんで、次は太陽系が集まった銀河系になって……でもまた何もない宇宙になる。 そーゆー《繰り返し》がおもしろかった！」

ゼロの数

僕「銀河系全体が画面に入ったのは、 $10^{21}$ メートル四方だった」

ユーリ「$10$ の $21$ 乗って、 $1$ の後にゼロが $21$ 個続くんだよね？」

僕「そうだね。 $1,000,000,000,000,000,000,000$ メートルだ」

ユーリ「ふえー」

僕「$1000$ メートルはキロメートルだから、 わかりやすくいうと $1,000,000,000,000,000,000$ キロメートルだね」

ユーリ「いや、それ、ぜんぜんわかりやすくなってないから」

僕「あはは、そうだね。指数（しすう）を使って表現したほうがいいか。 《銀河系の直径》がおおよそ $10^{21}$ メートルだとすると、 $10^{18}$ キロメートルになる」

$$ \begin{align*} \REMTEXT{《銀河系の直径》} &= 1000000000000000000000\REMTEXT{メートル} \\ &= 10^{21}\REMTEXT{メートル} \\ &= 10^{18}\REMTEXT{キロメートル} \\ \end{align*} $$

ユーリ「え？　お兄ちゃん、いまどんな計算したの。 $21$ 乗から $18$ 乗」

僕「うん？　 $21$ から $3$ 引いたら $18$ だよ」

ユーリ「そんなのわかってる。何で $3$ 引いたの？」

僕「だって、 $1$ キロメートルは $1000$ メートル、つまり $10^3$ メートルだから、 $3$ 引けばいい」

$$ \begin{align*} 10^{21}\REMTEXT{メートル} &= 1\underbrace{000000000000000000000}_{\REMTEXT{$21$個}}\REMTEXT{メートル} \\ &= (1\underbrace{000000000000000000}_{\REMTEXT{$18$個}} \times 1\underbrace{000}_{\REMTEXT{$3$個}})\REMTEXT{メートル} \\ &= 1\underbrace{000000000000000000}_{\REMTEXT{$18$個}}\REMTEXT{キロメートル} \\ &= 10^{18}\REMTEXT{キロメートル} \\ \end{align*} $$

ユーリ「あー、そかそか。あたりまえじゃん」

僕「うん、これはちょうど指数法則（しすうほうそく）の一例になっているよね」

ユーリ「しすーほーそく、って何だっけ」

僕「うん、たとえばこういうの。《全体の掛け算》は《指数の足し算》で計算できる」

ユーリ「ふんふん。《$10$ の $18$ 乗》と《$10$ の $3$ 乗》を掛けると、 《$10$ の $21$ 乗》になるってことだね」

僕「そうそう。その $21$ という数は、 $18+3$ で求める。 これを《一般化》すると……」

ユーリ「ほらきた！」

僕「『ほらきた』って？」

ユーリ「ねえ知ってた？　お兄ちゃんって、数学の話するとき必ず『一般化すると』って言い出すんだよー！」

僕「え、必ずってことはないと思うけどな」

ユーリ「いーや、違うね。必ずだね」

僕「まあ、だって、数学では《一般化》はとても大事だからしょうがないよ」

ユーリ「はいはい。では続けたまえ（にやにや）」

指数法則

僕「$10^{18} \times 10^{3} = 10^{18 + 3}$ を一般化すると、こんなふうに書ける」

ユーリ「ふんふん」

僕「さっきは $m = 18$ で $n = 3$ の例を話していたんだね」

ユーリ「そーだね」

僕「簡単な例を見るとすぐに意味はわかるよ」

ユーリ「もーわかったから、いーよ」

僕「そう？　たとえば、 $m = 2$ で $n = 3$ とすると」

ユーリ「わかったって」

僕「$m = 2$ で $n = 3$ とすると、こうなって、確かにこの指数法則は成り立っている」

$$ \begin{align*} 10^{2} \times 10^{3} & = 100 \times 1000 \\ & = 100000 \\ & = 10^{5} \\ & = 10^{2+3} \\ \end{align*} $$

ユーリ「お兄ちゃん……ユーリが『わかっている』って言ってるのに、 最後まで説明し切るんだね……」

僕「説明を途中で止めるって苦しいんだよ」

ユーリ「掛け算したら《ゼロの個数》が足し算になるなんて、わかってるもん」

僕「ところでユーリ。さっき $10^m \times 10^n = 10^{m+n}$ を話したとき、 ※ここで $m$ と $n$ は $1$ 以上の整数（$1,2,3,\ldots$）とするって条件つけたの、 なぜだか、わかる？

ユーリ「え……そーいえば、なんで？」

僕「この条件をつけておけば、指数法則はこんなふうにして示せるからだよ」

ユーリ「ねー、これって《$10$ を何個掛けるか考えればいい》って意味でしょ？」

僕「そうだよ。《何個》っていうからには $1$ 以上の整数（$1,2,3,\ldots$）でなくちゃまずいから、 だからああいう条件を付けたんだ」

ユーリ「わざわざまわりくどく言ってるみたい」

僕「そんなことないよ。それでね、いまは指数を《$1$ 以上の整数》で考えたよね」

ユーリ「うん」

僕「で、これを《$0$ 以上の整数》に拡張して考えよう」

ユーリ「えーと？」

僕「$10^0$（$10$ のゼロ乗）を考えるってことだよ」

ユーリ「$10^0$ って $1$ でしょ？　お兄ちゃん、こないだ言ってたじゃん」

僕「うん、そうだよ。 $10^0$ は $1$ に等しいと定義されている」

ユーリ「てーぎ……」

僕「そう。ここが大事なところだよ、ユーリ。 $10^0$ を定義して、指数法則を拡張しているんだ」

ユーリ「うわあ……なにそれ」

僕「つまり、こういうことだよ。 $m$ と $n$ が $1$ 以上の整数ならば、それがどんな整数でも $10^m \times 10^n = 10^{m+n}$ は成り立つ」

ユーリ「それ、さっきやった」

僕「うん。そこでね、いま $10^0$ の値（あたい）を定義したいんだけど、 どんな値として定義するのがいいかを考えたいんだ」

ユーリ「だって、 $10^0$ は $1$ って決まっているんでしょ？」

僕「そうだよ。でもそう決めたことには理由がある。 $10^0 = 1$ と定義するのが《うまい定義》だからなんだ」

ユーリ「うまい定義？」

僕「そう。《$m$ や $n$ が $0$ になるときでも、指数法則がちゃあんと成り立つ》という意味で、うまい定義」

ユーリ「ほほー……なるほど、わかんない」

僕「がく。じゃ、具体的に話そう。いま、 $m$ と $n$ が $0$ 以上の整数として、指数法則が成り立っているとしよう」

ユーリ「うん」

僕「だとすると、こういう式が成り立ってなくちゃいけない。指数法則で $m = 0,n = 1$ としたんだよ」

$$ \begin{align*} 10^m \times 10^n &= 10^{m+n} && \REMTEXT{指数法則} \\ 10^0 \times 10^1 &= 10^{0+1} && \REMTEXT{$m = 0, n = 1$とした} \\ 10^0 \times 10 &= 10 && \REMTEXT{$10^1 = 10$で$10^{0+1} = 10$だから} \\ 10^0 &= 1 && \REMTEXT{両辺を$10$で割った} \\ \end{align*} $$

ユーリ「ほほー」

僕「これ、何をやったかわかる？」

ユーリ「うん、わかる。 $10^0$ を求めたんでしょ」

僕「そう。だから、指数法則を満たすためには、 $10^0 = 1$ と定義しなければならなかったんだ」

ユーリ「……」

僕「じゃ、次に」

ユーリ「ちょっと待って、お兄ちゃん。ユーリのアンテナがぴぴっと……お兄ちゃんの説明、何だか変な気がする」

僕「え、いや、そんなことないと思うけどな。 $1$ 以上の整数で指数法則が成り立っているとき、 $0$ 以上の整数で成り立つように拡張したいなら、 $10^0 = 1$ と定義する必要がある」

ユーリ「えーとね、それはいーんだけど……ごめん、ちょっと待って。考える」

僕「で？」

ユーリ「やっぱ変だよ。お兄ちゃんは指数法則で $m = 0, n = 1$ として、 だから $10^0 = 1$ じゃなきゃだめだって言ったよね」

僕「うん、そういったよ」

ユーリ「でも指数法則が成り立つのを確かめたのは、 $m = 0, n = 1$ のときだけだよね？　 $m$ と $n$ が $0$ 以上の整数のとき、 絶対にいつでも指数法則は成り立つの？」

僕「おっと、そういうこと？　……確かに、さっきのお兄ちゃんの説明は少しまずかったな。 あれだと《指数法則が成り立つならば、 $10^0 = 1$ が成り立つ》しか言ってない。 逆に《$10^0 = 1$ が成り立つならば、指数法則は成り立つ》も言わなきゃまずいな。 まあ、でもそれはすぐに確かめられると思うけど」

ユーリ「そーなのか……」

整数へ

僕「ところで、さっき指数法則を $0$ 以上に拡張したけど、整数全体に拡張するのも簡単だよ。 "Powers of Ten"の映画にも出てきてたけど」

ユーリ「映画に？　何が？」

僕「ほら、後半で《小さな数》を表すところで、 $10^{-1}$ や $10^{-2}$ が出てきたじゃないか」

ユーリ「あー、《$10$ のマイナス乗》のこと？」

僕「そうそう。ユーリは《$10^{-1}$ メートル》ってどれだけの長さか知ってる？」

ユーリ「えーとねー、なんだっけ……《$10$ 分の $1$ メートル》だっけ」

僕「そうだね。正解。《$10^{-1}$ メートル》は《$10$ 分の $1$ メートル》に等しい」

$$ 10^{-1} = \dfrac{1}{10} $$

ユーリ「あれだよね。 $10^{-2}$ だと $\dfrac{1}{100}$ なんだよね」

僕「そうだね。ユーリ、よく知ってるな」

ユーリ「前に一回教えてくれたじゃない、お兄ちゃん。忘れたの？」

僕「そうだったかな……これも、指数法則を拡張するという形で定義されるんだ」

ユーリ「$10^{-1}$ も？」

僕「そう。 $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, 10^{-4}, \ldots$ 全部だね」

ユーリ「ふーん」

僕「たとえば、 $10^{-1}$ の値が何になるかを考えてみよう。 もちろん $\dfrac{1}{10}$ なんだけど、どうしてその値でなくちゃいけないかを考えるってことだよ」

ユーリ「ふんふん」

僕「指数法則が《すべての整数 $m$ と $n$ で成り立つ》ためには、 $10^{-1}$ はどんな値にならなくてはいけないかを考えたい。 いいかげんな値として定義しちゃったら、指数法則が成り立たなくなる。 それはいやだから、適切な値として定義したいということ」

ユーリ「……」

僕「どうした、ユーリ」

ユーリ「えっと、指数法則を成り立たせるための値を探すってこと？」

僕「そうだね」

ユーリ「ふーん」

僕「さっき $10^0$ の値を決めたときと同じように考えることになる。 今度は指数法則で $m = -1$ と $n = 1$ を入れてみよう。 もしも指数法則をすべての整数 $m$ と $n$ で成り立たせたいなら、 こうなるはず」

$$ \begin{align*} 10^m \times 10^n &= 10^{m+n} && \REMTEXT{指数法則} \\ 10^{-1} \times 10^1 &= 10^{(-1)+1} && \REMTEXT{$m = -1, n = 1$とした} \\ 10^{-1} \times 10 &= 10^{0} && \REMTEXT{$10^1 = 10$で$10^{(-1)+1} = 10^0$だから} \\ 10^{-1} \times 10 &= 1 && \REMTEXT{$10^0 = 1$だから} \\ 10^{-1} &= \dfrac{1}{10} && \REMTEXT{両辺を$10$で割った} \\ \end{align*} $$

ユーリ「ほほー！」

僕「ね？　さっき $10^0$ を定義したときと同じように、 今度は $10^{-1}$ は $\dfrac{1}{10}$ として定義するのがいいってことがわかる」

ユーリ「そーだね。ちゃんとあってた」

僕「$10^{-1} = \dfrac{1}{10}$ と決まったら、 $10^{-2}$ も決まるよ。やっぱり指数法則を使う。 すべての整数で指数法則が成り立っているとしたら、 $10^{-2}$ は何になるかが自動的に決まるんだ。 $m$ と $n$ は何にしたらいいと思う？」

ユーリ「$10^{-2}$ を求めるんだよね……そりゃ、 $m = -1$ で $n = -1$ じゃないの？」

僕「やってみよう」

$$ \begin{align*} 10^m \times 10^n &= 10^{m+n} && \REMTEXT{指数法則} \\ 10^{-1} \times 10^{-1} &= 10^{(-1)+(-1)} && \REMTEXT{$m = -1, n = -1$とした} \\ \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} &= 10^{(-1)+(-1)} && \REMTEXT{$10^{-1} = \dfrac{1}{10}$だから} \\ \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} &= 10^{-2} && \REMTEXT{$10^{(-1)+(-1)} = 10^{-2}$だから} \\ \dfrac{1}{100} &= 10^{-2} && \REMTEXT{$\dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{100}$だから} \\ 10^{-2} &= \dfrac{1}{100} && \REMTEXT{両辺を交換した} \\ \end{align*} $$

ユーリ「ねーお兄ちゃん。これって《繰り返す》ことができるよね」

僕「そうだね。 $10^{-1}$ で $10^{-2}$ を作ったのと同じように、 $10^{-1}$ と $10^{-2}$ で $10^{-3}$ が作れる。 それを繰り返していけば……」

$$ \begin{align*} 10^{0} &= 1 \\ 10^{-1} &= \dfrac{1}{10} \\ 10^{-2} &= 10^{-1} \times 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{100} \\ 10^{-3} &= 10^{-1} \times 10^{-2} = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{100} = \dfrac{1}{1000} \\ 10^{-4} &= 10^{-1} \times 10^{-3} = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{1000} = \dfrac{1}{10000} \\ 10^{-5} &= 10^{-1} \times 10^{-4} = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10000} = \dfrac{1}{100000} \\ &\vdots \\ \end{align*} $$

僕「そして、これを……」

ユーリ「《一般化》するんでしょ？」

僕「あ！」

ユーリ「ほらきた！　ね、必ず言うじゃん？」

僕「確かに……ともかく、一般化するとこうなる。 $n$ を $0$ 以上の整数（$0,1,2,3,\ldots$）とする」

$$ \begin{align*} 10^{0} &= 1 \\ 10^{-1} &= \dfrac{1}{10^1} = \dfrac{1}{10} \\ 10^{-2} &= \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} \\ 10^{-3} &= \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1000} \\ 10^{-4} &= \dfrac{1}{10^4} = \dfrac{1}{10000} \\ 10^{-5} &= \dfrac{1}{10^5} = \dfrac{1}{100000} \\ &\vdots \\ 10^{-n} &= \dfrac{1}{10^n} = \dfrac{1}{1\underbrace{000\cdots0}_{\REMTEXT{$n$個}}} \\ \end{align*} $$

ユーリ「おっけー」

大きな数を作る

ユーリ「お兄ちゃん。さっき、銀河系って直径どのくらいって言ったっけ」

僕「$10^{21}$ メートルって言ってたね」

$$ 10^{21}\REMTEXT{メートル} = 1000000000000000000000\REMTEXT{メートル} \qquad \REMTEXT{（銀河系全体の直径）} $$

ユーリ「こんなんだと、もう大きいんだか小さいんだかわかんないよね」

僕「いやいや、すごく大きいと思うよ」

ユーリ「そーだけどさ」

僕「《指数を使った数の表現》がすごいのは、 $1000000000000000000000$ なんていうすごく大きな数を、 $10^{21}$ のように短くまとめて書けるところにあるよね」

ユーリ「短くまとめても、同じ数なんでしょ？」

僕「うん。でもね、たくさんある $0$ の数をいちいち数えなくても、 $10^{21}$ を見ればゼロが $21$ 個あるってわかるじゃないか」

ユーリ「？　あたりまえじゃん？」

僕「たとえば、次の二つの数はどっちが大きい？」

ユーリ「うわひどい問題！　目がちらちらしてわかんないよ」

僕「だよね。確かにひどい問題だ。でもこれならどう？」

ユーリ「おー、なるほど。そりゃ $10^{21}$ より $10^{22}$ のほうが大きいよ」

僕「ね、だから、すごく《大きな数》を扱うときには、 《指数を使った表現》はとても便利だってことがわかるだろ」

ユーリ「それはそーみたいだけど……ひっかかるにゃ」

僕「何が？」

ユーリ「確かに、 $1000000000000000000000$ みたいに $0$ が《繰り返し》出てくるような数だったら、 $10^{21}$ って短く書けるからいいけど、そんな数ばっかりじゃないじゃん！」

僕「うん、それはそうか。ユーリの言うのも正しいな。 $10^{21}$は$\underbrace{10 \times 10 \times \cdots \times 10}_{\REMTEXT{$10$が$21$個}}$という形をしているから、 大きな数でも短く表せると」

ユーリ「そゆこと。何かを繰り返して作った数ならいーんだけど……あ！」

僕「なに？」

ユーリ「あのねお兄ちゃん。ユーリ、おもしろいこと思いついた！」

僕「？」