第87回 シーズン9 エピソード7

切断エリプス（前編）

僕「ユーリ、何見てるんだ？」

ユーリ「ねーお兄ちゃん。これって楕円（だえん）？」

僕「何のこと？」

ユーリ「このソーセージ」

僕「ああ、そうだね。ソーセージを円筒（えんとう）だと思って、 ナイフを平面だと思えば、断面は楕円になるよ。 切ったあとで炒めるから変形しちゃうけどね」

僕はそばにあった紙に、円筒を平面で切る図を描いた。

ユーリ「お兄ちゃん、図うまいね！　ちょっとゆがんでるけど」

僕「ミルカさんみたいなツッコミどうも。 ソーセージみたいな中身が詰まったものだと、 円筒というより円柱といったほうがいいかな。 まあ、形に注目するだけなら円筒でかまわないけど」

ユーリ「ほら、こないだ《ささやきの回廊》のこと教えてくれたじゃん？（第84回参照） あれから、楕円が気になって気になって……」

僕「大げさ」

ユーリ「へへ。てゆーかさ……《焦点から焦点へないしょ話が伝わる》って、お兄ちゃんが証明してくれたじゃん？　 あれ、けっこー感動もんだったから」

僕「それはそれは」

母「どう？　感想が聞こえてこないけど、おいしいかしら？」

ユーリ「はーい、とってもおいしいです」

母「よかった。あなたは？」

僕「まあ、おいしいけど」

母「けど？」

僕「おいしいよ……ごちそうさま」

ユーリ「あっ、ちょっと待ってお兄ちゃん。ユーリもすぐ食べ終わるから！」

僕の部屋

ユーリ「早くやってよ！」

僕「何を？」

ユーリ「さっきの、証明して！　ソーセージの楕円問題」

僕「え、あの話まだ続くのか」

ユーリ「《円筒を平面で切ると、断面が楕円になることを証明せよ》…… ほら、入試にもきっと出るよ！　この問題」

僕「出ない出ない。それに断面は楕円になるとは限らないし」

ユーリ「え？」

僕「こんなふうに、水平に切ったら断面は円だろ？」

ユーリ「それは、お兄ちゃんにしては甘い主張だにゃ。 円は楕円の特別な場合でしょ！　円も楕円の仲間なんだから、 断面が楕円って言ってもいーじゃん」

僕「さすがにユーリはだまされないか……いや、 やっぱりちがうな。円筒を平面で切ったときに断面が（円を含む）楕円にならない場合はあるよ」

ユーリ「え！」

僕「わかるかにゃ……」

ユーリ「ユーリのマネするなー！　……ほんとに？」

僕「ほんとほんと」

ユーリ「……わかった。あれでしょ？　ソーセージを横や斜めに切るんじゃなくて、まっすぐ縦に切る。そうしたら断面は……直線？」

僕「そうだね。 円筒を、その中心軸に平行な平面で切った場合、 普通は直線が $2$ 本になる。 ぎりぎりソーセージに接するようにナイフを使えば、直線は $1$ 本。 まあ接する場合を切断といえるかどうかは微妙だけどね」

ユーリ「そんじゃ、条件付け加えて、こーゆー問題にする！　 《円筒を、中心軸に対して斜めの平面で切った場合、断面が楕円になることを証明せよ》……これなら文句ないでしょ？」

僕「……しょうがないなあ。 じゃ、いっしょに考えてみようか」

ユーリ「うん！」

座標を定める

僕「しかし……なかなか難しい問題じゃないかなあ、これ」

ユーリ「お兄ちゃんならできるよ！」

僕「まずは少し図を描いてみようか。 断面が円になったり、楕円になったり、直線になったりするのは、 全部、ナイフとなる平面の角度が変わったからだよね」

ユーリ「うん。角度が変われば形も変わるね」

僕「だとすると、きっとこんなふうに角度を $\alpha$ としておくといいかもしれない。一回の切断で $\alpha$ は定数。決まった角度でスパッと切るから。角度を変えて切るというのは、 $\alpha$ の値を変えることに相当する」

ユーリ「ふむふむ。この $x$ と $y$ は？」

僕「うん、切断に使う平面の上に《座標》を決めておこうと思ったんだ。 さっきから《断面の形》と言ってるけど、その形っていうのは、 この平面上に描かれた形のことだからね」

ユーリ「ふーん」

僕「この図の $O$ は、この円筒の中心軸と平面との交点のこと。 ここを座標の原点に取ることにすると、きっといいと思う」

ユーリ「何で？」

僕「なんとなく」

ユーリ「なにそれいいかげん！」

僕「いや、ごめん。なんとなくじゃない。僕たちのゴールを考えると、 ここに原点を置くのがいいとはっきりしている」

ユーリ「ゴール？」

僕「がく。この断面が《楕円である》と証明するのがゴールだろ？」

ユーリ「そーだけど……」

僕「じゃ、ユーリにクイズだよ。 僕たちはいまこの断面が《楕円である》といいたいわけだよね？」

ユーリ「うん、そーだね」

僕「では、何がいえたら《楕円である》といえると思う？」

ユーリ「何がいえたら……って、楕円であるといえたら。じゃないの？」

僕「それじゃ話がぐるぐるまわってしまう。 ユーリはもう楕円についていろんなことを知っている。 いまここに $x$ と $y$ の座標がある。何がいえたら《楕円である》といえる？」

ユーリ「$x$ と $y$ の……」

僕「うんうん」

ユーリ「あったじゃん、ほら。 $x$ と $y$ が出てきて、イコール $1$ になるの。 $x$ と $y$ の式」

僕「そうそう。それのこと。楕円の方程式」

ユーリ「それだ！（第83回参照）」

僕「そう。僕たちは楕円の方程式を知っている。 $x$ と $y$ の座標があって、点 $(x,y)$ が楕円の方程式を満たしているなら、 その点は楕円上にあるわけだ。 だから僕たちが進む道はこれで決まった。何とかして、 切断面の形が楕円の方程式を満たしていることをいえばいい」

ユーリ「ふむふむ……でも、どーやって？」

僕「それを、これから考える」

ユーリ「あ、そーなの……」

僕「ちょっと図を描いてみるよ、ユーリ」

ユーリ「どーゆー図？」