第99回 シーズン10 エピソード9

純情な順序の交換に好感（前編）

僕の部屋

ユーリ「勝負だ！」

僕「なんだよ、いきなり」

ユーリ「この問題、すぐわかる？」

僕「ほう？　うん、わかると思うよ。ちょっと待って」

ユーリ「待たない」

僕「え？」

ユーリ「ちょっとも待たない。書いちゃだめ。暗算で解いて」

僕「暗算って……はいはい」

ユーリ「さーて、解けるかにゃ？」

僕「……わかったよ。 $c > d$ だね」

ユーリ「くー、やっぱり解けるか……どーやって解いたの？」

僕「どうやってって、暗算で移項して因数分解」

ユーリ「そっかー、暗算でできるかー」

僕「高校生だからね。書いてみると、こうなる」

ユーリ「むー」

僕「ところで、どうして急にこんな問題を？」

ユーリ「あのね、こないだお兄ちゃん、種明かししてくれたじゃん？」

僕「種明かしって？」

ユーリ「ほらほら、先生がどうやって数学の問題を作ってるか」

僕「ああ、あったねえ、そんな話」

ユーリ「だから、ユーリも問題作れないかなって思ったの。問題出されてばかりじゃつまんないから」

僕「それはおもしろい！」

ユーリ「最初ね、『$AB > 0$ のとき……』いう問題を考えたんだけど、 やさしすぎてつまんなかった」

僕「ああ、そうだね。それは単純すぎる」

ユーリ「でもね、ひらめいたんだよ、ユーリ。この $A$ とか $B$ に、 別の式を入れちゃえばいいって。そしたらもっと複雑になるでしょ？　次に作ったのがこういうの」

僕「ユーリは賢いなあ！　さっきの $AB>0$ という式で、 $A = a-b, B = c-d$ にしてみたんだね」

ユーリ「そーそー！　でも、 $(a-b)(c-d) > 0$ だと見え見えじゃん？　だから、 展開したの。そしたら $ac - ad - bc + bd > 0$ という式ができた。 そこからプラスとマイナスに分けて、 $ac + bd > ad + bc$ にしてみたんだよ」

僕「その後、 $ad$ を $da$ に、 $bc$ を $cb$ にしてわかりにくく迷彩しようとしたのか……」

ユーリ「でも、すぐ解かれちゃった」

僕「……」

ユーリ「どしたの？」

僕「ユーリの問題をヒントにしたら、おもしろい問題ができるよ。こういうの」

ユーリ「え……」

僕「紙に書いて考えてもいいよ」

ユーリ「ユーリ、これ暗算でできるよ」

僕「ソレハスゴイナ」

ユーリ「棒読みするなー。えっ、これってさっきと同じ問題じゃないの？　 $>$ が $\GEQ$ になっただけだよね？」

僕「それで？」

ユーリ「え、だから、 $c \GEQ d$ だと思うんだけど」

僕「ファイナルアンサー？」

ユーリ「待ってよ！」

ユーリ「$(a - b)(c - d) \GEQ 0$ ……ここまでは同じだよね」

僕「そうだね」

ユーリ「そっか、 $a - b \GEQ 0$ だから、 $a - b = 0$ のときも考えなくちゃいけないんだ。《ゼロ割り注意報》だ！」

僕「なにその注意報」

ユーリ「$a - b > 0$ だったら $c - d > 0$ がいえるけど、 $a - b = 0$ のときは……どーするの？」

僕「迷ったら、元の式で考えてみよう」

ユーリ「文字全部消えちゃった！　……どーしたらいいの！」

僕「$0 \GEQ 0$ は、 $c$ と $d$ がどんな数でも成り立つよね」

ユーリ「$0$ は $0$ 以上……うん、成り立つけど」

僕「ということは、 $c$ と $d$ のどちらが大きいかは、 与えられた条件だけからは決められないってことになるね」

ユーリ「そんなのありなんだ！」

僕「ありだよ。 $=$ が入るか入らないかは、とても大切。 あまり問題にならないときもあるけれど、こんなふうに全然違う問題になってしまうこともあるから、注意がいるね」

ユーリ「でも、『何もいえない』は言い過ぎだよ」

僕「どうして？」

ユーリ「だって、『$a \GEQ b$ のうち、 $a \neq b$ だったら $c > d$ だ』っていえるじゃん」

僕「ああ、確かにそうだね。だからこれは出題の仕方があまりよくない問題といえるかも」

ユーリ「……」

僕「まだ納得いかない？」

ユーリ「ちょっとね」

僕「これは論理の問題になるんだよ。 同値かどうか $\Leftrightarrow$ を使って考えるとはっきりする」

ユーリ「これは？」

僕「$AB > 0$ というのは、 $A$ と $B$ の両方が正か、 $A$ と $B$ の両方が負ということ。 つまり、 $A$ と $B$ が同符号だということと同値だよ」

ユーリ「うん、それはわかってる」

僕「ところで、 $AB \GEQ 0$ というのは、 $AB > 0$ または $AB = 0$ ということだよね？」

ユーリ「$0$ 以上だから、そーだね。プラスか $0$」

僕「$AB > 0$ の方はいま検討した。 $A$ と $B$ が同符号。 でも $AB = 0$ というのはどうかというと、 $A = 0$ なら $B$ の符号はどうでもいい。 $B = 0$ なら $A$ の符号はどうでもいい」

ユーリ「にゃるほど！」

僕「つまり、こうなる」

ユーリ「ふんふん」

僕「《$A$ と $B$ が同符号》という部分を使って大小関係の判断をしていたのに、 等号 $=$ が入り込むことで、大小関係が判断できない場合が生まれてしまったんだね」

ユーリ「なーる」

僕「だから、問題2はこういう問いにした方がすっきりするかも」

ユーリ「あ、これは成り立つ！　だって、 $(a - b)(c - d) \GEQ 0$ だもん」

僕「そうだね、これは定石通り、引き算をすればきちんとわかる」

順序交換

僕「ところで、ユーリの書いてくれた不等式を見ていたら、 また別の問題を見つけちゃったよ」

ユーリ「でたな数式マニア」