第112回 シーズン12 エピソード2

ゼロがゼロである理由（後編）

僕の部屋

僕「これで、行列の相等（$=$）と和（$+$）と差（$-$）が定義できて、 零行列 $\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$ も定義できたね（第111回参照）。 つまり、これで、等しいかどうかを調べることと、 足し算と、引き算ができる《数のようなもの》を作ったことになる。 ゼロも作った」

ユーリ「にゃるほど。ねえ、じゃ、次は？　次は何を作るの？」

僕「それはもちろん、アレだよ」

ユーリ「そっかー、アレかー……アレって何？」

僕「行列の世界で《$0$ に相当するもの》として零行列を作ったから、 次は《$1$ に相当するもの》を作ろう」

ユーリ「ゼロ行列じゃなくて、イチ行列？」

僕「壱行列とは言わなくて、ふつうは単位行列というよ」

ユーリ「たんいぎょうれつ……これは簡単だよね。 成分をぜんぶ $1$ にすればいいんでしょ？」

僕「ユーリは、どうしてそう思ったんだろうか」

ユーリ「お兄ちゃんは、どーしてそー聞き返したんだろーか」

僕「何？」

ユーリ「いや、今回の聞き返しはユーリがまちがったから？　それとも、 ほんとに理由を聞きたいから？」

僕「その両方」

ユーリ「え、 $\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ はまちがいなの？」

僕「うん、残念ながら、それは単位行列じゃない」

ユーリ「だって、零行列のときは成分が全部 $0$ だったじゃん？」

僕「そうだね」

ユーリ「だったら、単位行列は $1$ みたいなものなんだから、 成分が全部 $1$ になるんじゃないの？」

僕「そこだよ。そこで重要な問いかけが出てくる。 さっきは『ゼロって何だろう』という問いかけだった（第111回参照）。 今度は『イチって何だろう』という問いかけになる」

ユーリ「ゼロは、足しても変わらないものだった。イチは、足したら $1$ 増えるものでしょ？」

僕「うん、そう考えることも可能だね。 そしてそう考えると、ユーリが $\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ をイチにしたくなる理由もわかる。 $\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ を加えると、行列の成分がぜんぶ $1$ 増えるから」

ユーリ「そー考えたんだけど」

僕「そう考えることももちろん可能だよ。 でも、それは少しつまらないともいえる。 それだと、行列が数と同じふるまいしかしなくなるから」

ユーリ「じゃあ、何がイチなの？」

僕「こんなふうに考えてみよう。 《どんな数にゼロを足しても変わらない》と同じようにして、 《どんな数にイチを掛けても変わらない》というふうにね」

ユーリ「ほほー！　なーるほど。足し算じゃなくて掛け算？」

僕「そうだね。こんなふうにも言える。《足し算にとってのゼロ》は、 《掛け算にとってのイチ》」

ユーリ「お兄ちゃん、ちょっとかっこいい……あれ？、ちょっと待ってよ。 《掛け算にとってのイチ》はいーんだけど、 それだったらユーリがさっき答えた $\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ で正解じゃん？　だって、 成分に $1$ を掛けたら変わらないよ？」

僕「あ、いやいや、そうじゃないんだよ。 行列の積は成分ごとの積じゃないんだ。 行列の掛け算……行列の積はまだ定義してなかった」

ユーリ「じゃ、早く定義して！」

行列の積

僕「二つの行列 $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ と $\left(\begin{array}{cc} s & t \\ u & v \end{array} \right)$ があったと考えよう」

ユーリ「考えたくない」

僕「がく。何を言い出すやら」

ユーリ「お兄ちゃんは数式のまじゅちゅち……まずちゅし……数式の魔法使いだからいーかもしれないけど」

僕「魔術師」

ユーリ「数式の魔法使いだからいーかもしれないけど、 いきなり $a,b,c,d,s,t,u,v$ とかやめてほしー」

僕「やめてほしいといわれても……わかった。じゃあ、こうしよう。 二つの行列 $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ と $\left(\begin{array}{cc} a' & b' \\ c' & d' \end{array} \right)$ があったと考えよう。 $a,b,c,d$ と $a',b',c',d'$ はぜんぶ何らかの数だよ」

ユーリ「うん。これならなんとか」

僕「それはよかった。この二つの行列の積を、こんな式で定義する。 二つの行列を並べて積を表すよ」

ユーリ「うわ、手加減なしかー。何この式のラレツ！」

僕「定義に手加減もなにもないよ。 いっぺんに全部みるとわけがわからなくなるから、 成分を一つ一つ見てみよう。まず、これ」

ユーリ「ははー。 $a$ と $a'$ を掛けて、 $b$ と $c'$ を掛けてる……？」

僕「そうだね。そして $aa'$ と $bc'$ を足す。 行列の積で基本になる計算は《掛けて、掛けて、足す》という計算だよ。 ここでは、 $aa' + bc'$ に《掛けて、掛けて、足す》という形が出ているね」

ユーリ「《掛けて、掛けて、足す》……ふんふん？」

僕「二つの行列を掛けたときに、左側の行列では《行》をまとまりとして見る。 右側の行列では《列》をまとまりとして見る。 そして、成分同士について《掛けて、掛けて、足す》という計算をするんだよ」

ユーリ「……ふふーん、だいぶ《見えて》きたよ」

僕「それはすごいな。お兄ちゃんは、行列の積を初めて見たとき、この計算に慣れるまで時間が掛かったよ」

ユーリ「左目を横に動かして、右目を縦に動かして見れば、簡単だもん！」

僕「いやいや、それは人間には無理だから！」

他の成分

僕「他の成分もまったく同じに考える。たとえば、 $ab'+bd'$ はこうやって計算する」

ユーリ「ほんとだ……でたらめに式を書いたんじゃなかったんだね！」

僕「そりゃそうだよ。次に $ca'+dc'$ はこうだよ」

ユーリ「もーわかったよ」

僕「そして、最後に $cb'+dd'$ はこう」

ユーリ「わかったって！」

僕「じゃ、試しに計算してみようか。行列の掛け算練習」

ユーリ「掛けて、掛けて、足す……」

僕「どう？　できた？」

ユーリ「できたできた。目と頭がごちゃごちゃしてきた」