第129回 シーズン13 エピソード9

投げたコインの正体は（前編）

高校の図書室

ミルカ「これで分散が求められる」

テトラ「これで《コインを $10$ 回投げたときに表が出る回数の分散》が求められるんでしょうか？」

僕「……いや、だめだよ、ミルカさん。これじゃだめだ」

ミルカ「なぜ？」

僕「確かに僕たちは確率母関数を使って、確率変数 $X$ の平均 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求められるようになった」

$$ \left\{\begin{array}{llll} E(X) &= f'(1) \\ V(X) &= f''(1) + f'(1) - f'(1)^2 \\ \end{array}\right. $$

ミルカ「計算してきたから」

僕「でも、実際に求めるためには《コインを $10$ 回投げたときに表が出る回数》を表す確率変数 $X$ の確率母関数 $f(x)$ が必要じゃないか！」

ミルカ「もちろんそうだが」

僕「でも、それは……簡単な式とはいえないよ」

ミルカ「話がループしているようだ。 $X$ の期待値を求めるのに、 $X_1 + X_2 + X_3 + \cdots + X_{10}$ を考えたのと似た話。 $X$ の確率母関数を求めるのに、 $X_1, X_2, X_3, \ldots, X_{10}$ の確率母関数を使えばいい。 それが確率母関数のおもしろいところでもある。基本的なものを組み合わせて複雑なものを作る。 エレメンタリなものを使ってシンセサイズする」

僕「というと……待ってよ。 《コイン $1$ 回投げたときに表が出る回数》を表す確率変数の確率母関数を考えて、 その《和》を取るの？」

ミルカ「いや、確率母関数の《積》を取るんだ」

僕「確率母関数の積を取る？　何回も試行するとき、それぞれの確率母関数の積を取る？　うーん、よくわからないなあ」

ミルカ「すでに定義が出ているのだから、計算すればすぐに納得できる。 完全な一般化は難しいが、 $10$ 回のコイン投げなら難しくない」

僕「そうか。計算してから悩めばいいか」

ミルカ「ふむ」

テトラ「せ、先輩方！　ちょっとお待ちください。 テトラはここで取り残されそうになっています。お、お待ちください」

ミルカ「うん？」

テトラ「そこのところ、あたしに計算させていただけませんか。 おぼろげな、あたしの理解を確かめるために」

理解の確認から

僕「みんなでわいわいやってるんだから、 テトラちゃんの計算を止める理由はないよ。 根気強いテトラちゃんなら、きっと大丈夫。計算できるはず」

テトラ「あ、ありがとうございます」

ミルカ「とすると、問題を明確化しておいたほうがいいと思うが」

僕「そうだね。こうかな」

ミルカ「……」

テトラ「はい……でも、この答え自体はもうわかっていますよね。 あたしが定義から計算して、 $V(X) = \sigma^2 = 2.5$ でした（第127回参照）」

僕「そうだね。だから、僕たちがいま考えたいのは、 ミルカさんが教えてくれた確率母関数を使って $V(X)$ を求めることになる」

テトラ「は、はい。 あたしはまた、確率母関数のことはよく理解していません。 でも、何だか難しいけれど、おもしろそうなものだと思いました」

僕「テトラちゃんは、確率母関数の定義は大丈夫？　書ける？」

テトラ「書けます……先ほどの問題（第128回参照）で出てきたものですね」

僕「そして、 $X$ の平均と分散はこの確率母関数で表せるところまではできたよね（第128回参照）」

テトラ「は、はい……これも、式の形はわかります。が」

僕「が？」

テトラ「その後、先輩方がお話ししていた確率母関数の積はまだわかっていません。 でも、積というからには掛け算をすればいいのですよね？　それは $f(x)$ を掛け算してやればいいと思いました。 そうすれば、分散が出てくるのですよね？　それならあたしでも何とかできます。がんばって掛け算して……」

ミルカ「テトラ、テトラ。挑戦しすぎだ。 彼の問題の立て方は大きすぎる。もっと小さな問題で考えるべき」

テトラ「……」

僕「これはさっきやったんじゃなかった？」

ミルカ「理解の確認」

テトラ「はい……コインを $1$ 回投げたら、表が出る回数は $0$ 回か $1$ 回ですよね。 $X_1=0$ になるか、 $X_1 = 1$ になるか」

僕「そうだね」

テトラ「それぞれの確率は $\frac12$ ですから、 $f_1(x)$ はこれでいいですね」

$$ \begin{align*} f_1(x) &= P_0x^0 + P_1x^1 + P_2x^2 + P_3x^3 + \cdots + P_kx^k + \cdots \qquad \REMTEXT{確率母関数} \\ &= P_0x^0 + P_1x^1 \qquad \REMTEXT{$P_2 = P_3 = P_4 = \cdots = 0$だから} \\ &= \frac12x^0 + \frac12x^1 \qquad \REMTEXT{フェアなコインだから表裏どちらが出る確率も$\frac12$} \\ &= \frac{x+1}{2} \\ \end{align*} $$

僕「うん、それでいいと思うよ」

ミルカ「いや、 $f_1(x) = \frac12x^0 + \frac12x^1$ で止めよう」

テトラ「あ、はい」

ミルカ「そしてテトラはこの式 $f_1(x) = \frac12x^0 + \frac12x^1$ を改めて説明する」

テトラ「はい。コインを $1$ 回投げたときに表が出る回数を確率変数 $X$ で表して、 その $X$ の確率母関数が $f_1(x)$ です」

ミルカ「右辺の説明」

テトラ「$\frac12x^0 + \frac12x^1$ で、最初の $\frac12$ は表が $0$ 回でる確率です。 つまり、裏が出る確率。それから、二つ目の $\frac12$ は表が $1$ 回でる確率です」

$$ \underbrace{\frac12}_{\REMTEXT{表が$0$回出る確率}} x^0 + \underbrace{\frac12}_{\REMTEXT{表が$1$回出る確率}}x^1 $$

ミルカ「それでいい。 $x^2$ や $x^3$ の項がない理由は？」

テトラ「それは……コインを $1$ 回投げたときに表が $2$ 回でることや、 $3$ 回でることがないからです」

ミルカ「そう。どちらの確率も $0$ に等しいから」

僕「うんうん」

テトラ「あの……確率母関数の定義から、そこまではわかるんですが、 あたしはそもそも母関数のことがまだわかっていないようです。 $x^0$ の係数は表が $0$ 回でる確率というのはわかりますが、この $x$ はなんでしょうか」

ミルカ「何でもない。形式的な変数だと考えればいい」

僕「数列の各項が混ざらないようにしているんだと思うな」

テトラ「混ざらない？」

僕「そうだよ。ほら、数式だと同類項は足し合わせることができるよね。 $ax^2$ と $bx^2$ があったら、両方足し合わせて $(a+b)x^2$ になる。 でも、僕たちはいま、数列になった確率 $P_0,P_1,P_2,\ldots,P_k,\ldots$ を扱いたいんだから、 勝手に確率が混ざっては困る。だから、同類項にならないように $P_0x^0$ と $P_1x^1$ と $P_2x^2$ というふうに、 確率 $P_k$ は $x^k$ の項の係数にしているんだ」

テトラ「は、はあ……それは、何となくわかりました。 でも今度は逆の疑問がわいてきます。 なぜそんなにしてまで確率母関数を考えるか、です。 数列を扱いたかったら、数列で扱えばいいのに、どうして確率母関数のような形にしなくちゃいけないのか」

僕「それは……」

ミルカ「それをまさにいま確かめているのだ」

テトラ「え？」

ミルカ「どうして確率母関数のような形にするのか。 その理由の一つはすでに出た。形式的な微分を行い、 $x = 1$ とすることで、平均と分散を表せた」

テトラ「あ、そうでした」

ミルカ「そしてもう一つ」

僕「確率母関数の積を取ったら、何が出てくるか、だね？」

ミルカ「そうだ。こんな問題になる」

テトラ「ははあ……」

ミルカ「『あ、あたし、計算してみますっ！』と言うのはいまだよ、テトラ」

僕「ねえ、ミルカさん。ものまねはいいから……」

テトラ「あ、あたし、計算してみますっ！」

$$ \begin{align*} f_1(x)\cdot f_1(x) &= \left(\frac12x^0 + \frac12x^1\right)\left(\frac12x^0 + \frac12x^1\right) \qquad \REMTEXT{解答2から} \\ &= \frac12x^0\left(\frac12x^0 + \frac12x^1\right) + \frac12x^1\left(\frac12x^0 + \frac12x^1\right) \\ &= \frac12x^0\frac12x^0 + \frac12x^0\frac12x^1 + \frac12x^1\frac12x^0 + \frac12x^1\frac12x^1 \\ &= \frac14x^0 + \frac14x^1 + \frac14x^1 + \frac14x^2 \\ &= \frac14x^0 + \frac24x^1 + \frac14x^2 \\ &= \frac14x^0 + \frac12x^1 + \frac14x^2 \\ \end{align*} $$

テトラ「あ、というか、 $2$ 乗の公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使えばいいんでした」

$$ \begin{align*} f_1(x)\cdot f_1(x) &= \left(\frac12x^0 + \frac12x^1\right)^2 \\ &= \frac14x^0 + \frac24x^1 + \frac14x^2 \\ &= \frac14x^0 + \frac12x^1 + \frac14x^2 \\ \end{align*} $$

ミルカ「$\frac12x^1$ は $\frac24x^1$ のままで止めよう」

テトラ「あ、はい。それなら、 $f_1(x)\cdot f_1(x)$ はこうなりました」

$$ f_1(x)\cdot f_1(x) = \frac14x^0 + \frac24x^1 + \frac14x^2 $$

テトラ「……」

僕「なるほどなあ！　確かにうまくいくね。確率母関数の積で」

テトラ「何がうまくいくんでしょうか？」

ミルカ「この式の意味を考える」

$$ \frac14x^0 + \frac24x^1 + \frac14x^2 $$

テトラ「いま計算したものですね」

ミルカ「$x^0$ の係数 $\frac14$ の由来は何か」

テトラ「由来……それは、展開した結果です。 $(\frac12x^0 + \frac12x^1)(\frac12x^0 + \frac12x^1)$ で、 $\frac12x^0$ を $2$ 乗したので、その係数が $\frac14$」

僕「それって、確率母関数的にいえば、 $P_0P_0$ の値ってことだよね、テトラちゃん」

テトラ「……そうですね」

ミルカ「$x^1$ の係数 $\frac24$ の由来は何か」

テトラ「これも同じです。同じですが、 $\frac12x^0\frac12x^1$ と $\frac12x^1\frac12x^0$ を加えた項の係数になります」

僕「こっちも同じだよ。確率母関数でいえば、 $P_0P_1$ と $P_1P_0$ の和だね」

テトラ「すみません……あたしはまだよく飲み込めてないようです」

僕「$P_0P_0$ って、コイン投げ $1$ 回目で表が $0$ 回でて、 $2$ 回目も表が $0$ 回でる確率になるよね？　つまり、 $P_0P_0$ は「裏裏」に対応する」

テトラ「はあ、そう、ですね」