第133回 シーズン14 エピソード3

はさみはさむ（前編）

ユーリ「クッキーおいしかったね！　……何してんの？」

僕「さっきのこと、考えてたんだよ。ほら、これの話」

ユーリ「そーだった。長方形を使っても、 スキマ空いてるから、 面積は正確に求められないよね」

僕「その通りだね。長方形が一つだったら面積は《掛け算》すれば求められる。 長方形がいくつか並んでいたならそれを全部《足し算》すれば求められる。 でも、こんなふうにグラフが曲線になっていたら、 いくら長方形を並べても正確には求められない」

ユーリ「それじゃ、おもしろくない……そんで？　何かワザがあるっていってたじゃん。必殺技？」

僕「うん、高校で習う極限（きょくげん）を使うんだよ」

ユーリ「きょくげん……といえば」

僕「といえば？」

ユーリ「紫木一姫とか市井遊馬とか」

僕「それは字が違う……急に戯言シリーズを持ち出すなよ」

ユーリ「へへ」

僕「まじめにいこう。 たくさんの長方形を使って面積を求めるんだけど、 正確に求めるために《長方形の幅をできるだけ小さくする》ということをやりたいんだ」

ユーリ「ほほー」

僕「長方形の幅を小さくすれば、実際の面積に近づくからね」

ユーリ「むむむ？　ねーお兄ちゃん、これ円周率のときにやったよね！」

僕「円周率？」

ユーリ「ほらほら！　円周率を《数えて求める》話のとき。 誰だっけ、ピタゴラスだっけ」

僕「ああ、アルキメデスだね。アルキメデスが正 $96$ 角形を作って円の面積を求めようとした話」

ユーリ「そのときにも、だんだん細かくしたよ！」

僕「そうだね。その通りだ。あのときは、 正 $6$ 角形→正 $12$ 角形→正 $24$ 角形→正 $48$ 角形→正 $96$ 角形と変えたよね。 これから始める計算も、それと似た話になるよ」

ユーリ「円周率 $3.14$ まで行くの、すんごく大変だった。おもしろかったけど」

僕「おもしろかったよね」

CM

ユーリ「そんときのユーリの活躍は、『数学ガールの秘密ノート／丸い三角関数』で読めまーす！」

僕「メタ発言禁止」

ユーリ「気にしない、気にしない。そんで？　どーやって面積求めるの？」

僕「具体的に考えてみよう。やさしいところで、こんな三角形の面積 $S$ を求める」

ユーリ「すぐわかるよ！　底辺×高さ÷ $2$ だから、 $1\times1\div2 = \frac12$ で、 $S = \frac12$ だ！」

僕「そうだね。確かに $S$ の値はそうなる。 で、それを長方形を使って求めてみようということ。 $4$ 個の長方形が見えるかな？」

ユーリ「$3$ 個しか見えない」

僕「一番左の長方形は高さが $0$ だから見えないけど、長方形の一種だと思ってみよう。 そうすると、この長方形 $4$ 個はぜんぶ幅が $\frac14$ であることがわかる」

ユーリ「$4$ 等分したから、そーだね」

僕「そして高さはどうなっているかというと……」

ユーリ「$0$ と $\frac14$ と $\frac12$ と $\frac34$ になってる」

僕「その通り。それで正しいんだけど、パターンがよく見えるように約分しないで書くと、 長方形 $4$ 個の高さは…… $$ \dfrac04, \dfrac14, \dfrac24, \dfrac34 $$ となるのがわかるね」

ユーリ「ふんふん。わかるわかる。分子が $0,1,2,3$ になるって言いたいんでしょ？」

僕「そう。 この、三角形の下にある長方形 $4$ 個の面積を $L_4$ と表すことにしよう」

僕「そうすると、長方形の幅が $\frac14$ であることに注意して…… $$ \begin{align*} L_4 &= \frac14\cdot\frac04 + \frac14\cdot\frac14 + \frac24\cdot\frac14 + \frac34\cdot\frac14 \\ &= \frac1{4^2}(0 + 1 + 2 + 3) \end{align*} $$ になる」

ユーリ「わかる！　計算すれば、 $\frac{0+1+2+3}{16} = \frac{6}{16} = \frac38$ になる。 これって、三角形の面積 $\frac12$ より小さいね。 $\frac12$ は $\frac48$ だもん」

僕「ああ、そうだね。そういうふうに確かめるのはとてもいいね！　でも、実は《計算しない》ほうが役に立つこともあるんだ。 つまり、 $$ L_4 = \frac1{4^2}(0 + 1 + 2 + 3) $$ のまま、いったん置いておく」

ユーリ「もっと計算できるのに？」

僕「もっと計算できるのに。 なぜかというと、 いまは《$4$ 分割したときの長方形の面積の合計》を求めているんだけど、 ほんとうに求めたいのは《$n$ 分割したときの長方形の面積の合計》なんだよ」

ユーリ「えぬぶんかつ」

僕「そう。《文字の導入による一般化》だね。長方形の個数を文字 $n$ で表したい。 その準備として、まずは $4$ 分割している。 だから、面積の合計を表す式の《どこに $4$ が出てくるか》がはっきり見えたほうがいいんだ。 なので、《計算しない》ほうが役に立つことがある」

ユーリ「ほほー！　……そんならそーと、先に言ってよね！」

僕「はいはい。三角形の面積 $S$ は $\frac12$ だと僕たちは知っているんだけど、 ちょっと《知らないふり》をしよう。 そして、いま、長方形を $4$ 個、そのうち $1$ 個は面積が $0$ だけど、並べた面積 $L_4$ と比較すると…… $$ L_4 < S $$ ……という式が成り立つことがわかる。わかる？」

ユーリ「うん、わかる」

上から押さえる

僕「ではもう一度 $4$ 分割しよう。今度は《上から押さえる》ようにする。 つまり、三角形を覆い隠すように長方形を並べて、 $S$ よりも大きな面積にしようというわけ。 図に描くとこうだよ」

ユーリ「うん、アルキメデスの方法と同じで、《はさみうち》をするんだね！」

僕「そういうこと。三角形を覆い隠すように描いた $4$ 個の長方形の面積の合計を $M_4$ と書くことにしよう。 そうすると、 $$ L_4 < S < M_4 $$ が成り立つことがわかるよね」

ユーリ「うん、わかるわかる」

僕「じゃ、 $M_4$ は具体的に計算できる？」

ユーリ「簡単だよ！」

僕「いいね！　確かに、 $$ L_4 < S < M_4 $$ が成り立ってる」

一般化

僕「これで、 $L_4 < S < M_4$ という準備ができた。 ここから《文字の導入による一般化》をするんだけど、式をまとめておくよ」

ユーリ「お兄ちゃんってよくこういうまとめをするよね。ちゃちゃっと先に進めば早いのに」

僕「いったんまとめておくと、読みまちがいや考えまちがいを減らせるからなんだよ。 ……で、この $4$ を $n$ に置き換える。それから、「小さい方」に出てくる $3$ は $n-1$ に置き換える。 $n$ 分割すると、こういう式になるはずだよ」

ユーリ「にゃるほど。 $\frac1{n^2}$ に掛けるものが違う。《$0$ から $n-1$ まで足したの》と、 《$1$ から $n$ まで足したの》。確かに $M_n$ のが大きいね」

和を求める

僕「ところでユーリは $1$ から $n$ まで足したらいくらになるか知ってる？」