第139回 シーズン14 エピソード9

曲がり曲がる（前編）

図書館にて

僕「テトラちゃん、それ、何？」

テトラ「あ、先輩！　これ……村木先生の《カード》なんですけど」

僕「それで、どんな問題？」

テトラ「それが、何も書かれていないんです。まっ白で、しかも《丸い》んです！」

僕「丸い？」

僕「これは……珍しいな。 そもそもカードが《丸い》のは初めてじゃないかなあ」

テトラ「それでですね、あたしは、何か《すかし》のようなものが書かれているのかな……と調べていたんです。 こうやって……」

僕「あ、テトラちゃん！　そのカードをそのまま、ずっと上に……」

テトラ「え？　こ、こうですか？」

僕「そうそう。両手で持ったまま、頭の上に、水平にして……違う違う。 頭に乗せるんじゃなくて、頭の上にふわっと浮かせる感じに。そうそう！」

テトラ「こうでしょうか？」

僕「そう、そしてそのまま微笑んで！」

テトラ「あ、はい」

僕「うんうん」

テトラ「これは……数学のどんな問題になるんですか？」

僕「あ、違うんだよ。そうやっていると、テトラちゃんはまるで《天使》みたいだなって」

テトラ「も、もう！　からかうのはやめてくださいっ！」

僕「ごめんごめん。ところでこのカードなんだけど、村木先生はなんて言ってたの？」

テトラ「は、はい……あたしが積の積分のこと（第138回参照）をレポートにして持っていったら、 先生はこれを渡してくださったんです」

僕「じゃあ、これは積分しろという話なのかな」

テトラ「円を積分？」

僕「きっと円の面積を求めよということなんじゃないかなあ」

円の面積

テトラ「円の面積……というのは $\pi r^2$ ですよね」

僕「そうだね。円周率を $\pi$（パイ）で表すと、 半径が $r$ の円の面積は $\pi r^2$ で求められる。円の面積を表す公式はそうなる」

テトラ「はい。これは小学校のときに習いました。$\REMTEXT{半径} \times \REMTEXT{半径} \times 3.14$ です」

僕「うん、そうだよね。小数の掛け算がめんどうだったの思い出すなあ」

テトラ「公式を説明なさった先生の図が衝撃的でした」

僕「図？」

テトラ「そうです。円形のピザをたくさんの扇形に切って、組み替えて、平行四辺形のような形にしていくんです」

僕「ああ、そうだったね。こんな図だよね。たとえばピザを $8$ 枚に分割した場合」

テトラ「そうです、そうです。そして、その扇形をした《ピザ $1$ 切れ》をどんどん細くしていくと、 《底辺の長さ》は《円周の半分》で、 《高さ》は《円の半径》に近づいていくから、円の面積が求まる……と」

僕「うんうん、なつかしいなあ」

テトラ「でも、何だかちょっとごまかされた感じがしました。 だって、《ピザ $1$ 切れ》をいくら細くしても、底辺は少しだけ《でこぼこ》しますよね。その《でこぼこ》はどうなるのか……と疑問でした」

僕「小学校や中学校だと、《極限》のことはそうやって説明するしかないんだけどね」

テトラ「極限……あの $\lim$ ですね？」

僕「そうだね。数列の極限、関数の連続、関数の微分、そして積分……と、 数学のあちこちには極限が出てくる。面積を求めるときもね」

テトラ「……」

僕「どうしたの？」

テトラ「もしかして、いまなら……高校生のいまなら、 あのピザの謎が解けるということでしょうか。《極限》で？」

僕「そういうことになるね。確かに極限を計算すると $\pi r^2$ になるってわかるはず」

テトラ「先輩は、もうご存じなんですか？　ピザを使った円の面積の求め方」

僕「ええと、うん、そうだね。数学の本に出てきたから、式を追いかけたことがあるよ。 その後、何回か自分でもノートに再現できたから、たぶん理解していると思う。 いっしょに《円の面積の公式》を求めてみようか」

テトラ「はい！」

ピザを使って円の面積を求める

僕「問題をきちんと書くと、こうかな」

テトラ「はい」

僕「僕たちはピザを分割して《ピザ $1$ 切れ》をどんどん細くしていき、 その極限をとって円の面積を求めようとしているんだよね」

テトラ「はい、そうですね」

僕「ということは、最後の極限に持っていくときのために、 ピザ……つまり《円を $n$ 分割する》ことにしよう」

テトラ「なるほどです。そして、 $n$ を大きくしていくんですね？」

僕「そうだね。 $n \to \infty$ の極限を考えることになる。 ピザを $n$ 分割したときの《ピザ $1$ 切れ》の扇形の面積を求めることになるから……うん。 半径 $r$ の円の面積を $S$ として《ピザ $1$ 切れ》の面積を $S_n$ としよう。 図に描くとこうなるね」

僕「中心の角度を $\theta$（シータ）とすると、ぐるっと一回りする $360$ 度、つまり $2\pi$ ラジアンを $n$ 等分しているわけだから、 $$ \theta = \dfrac{2\pi}{n} $$ になるね」

テトラ「なるほどです。 はい、扇形の面積 $S_n$ を求めてそれを $n$ 倍すれば円の面積 $S$ になるということで……でも、先輩、 その《扇形の面積》を《円の面積》から求めてはだめですよね？」

僕「だめだね。それでは循環論法になってしまうから。 使える道具は《はさみうち》だよ。 《ピザ $1$ 切れ》の扇形をはさむような、《二つの形》を見つければいいはず」

テトラ「二つの形？」

僕「一つは《ピザ $1$ 切れ》よりも明らかに《小さな形》で、一つは明らかに《大きな形》。 その《二つの形》の面積で《ピザ $1$ 切れ》の面積を《はさみうち》するんだよ。 そういう二つの形を見つけるんだ。《小さな形》の面積を $L_n$ として、 《大きな形》の面積を $M_n$ とすると、 $$ L_n < S_n < M_n $$ という不等式を作ることになるね」

テトラ「ははあ……あ！　《小さな形》は見つかりますよ。こういう直角三角形でいいですよね？」

僕「うん、いいね！　これなら面積もすぐにわかるし。面積は……」

テトラ「テトラもわかります。斜辺が $r$ の直角三角形で、角度が $\theta$ なんですから、 底辺は $r \cos \theta$ で、高さは $r \sin \theta$ ですね。 ですから、面積は $\frac12 \cdot r \cos \theta \cdot r \sin \theta$ です！」

僕「そうなるね。この直角三角形の面積を $L_n$ と表すと、式を整理してこうなるかな」

《大きな形》はどこにある？

僕「それで、下はいいとして、上はどうするんだっけかな……」

テトラ「上？　《大きい形》のほうですね」

僕「うん、僕たちはいま $S_n$ を《はさみうち》したい。 テトラちゃんが見つけてくれた三角形 $L_n$ で小さい形はできそうだ。 $L_n < S_n$ だね。 《大きい形》の面積を $M_n$ として、 $$ L_n < S_n < M_n $$ とはさむ。そして……」

テトラ「あ！」

僕「あ！」

テトラ「先輩も見つけました？」