第147回 シーズン15 エピソード7

波を見つける（前編）

図書室にて

僕「テトラちゃん、何を見てるの？」

テトラ「あ、先輩！　……はい、村木先生からの《カード》です」

僕「今日は、どんなの？」

テトラ「これですね」

僕「おっと、問題の形になってる」

テトラ「そういえばそうですね。《定積分を求めよ》という問題の形になっています」

僕「それで？　テトラちゃんはもう解けたの？」

テトラ「いえいえいえっ！　あたしはミルカさんや先輩のように、 歩きながら積分の計算なんてできません。 この《カード》も、先ほど職員室で先生からいただいたばかりですし」

僕「そうなんだ」

テトラ「でも……今回はいつものようにテトラはトロくありませんよ。 もう《テトロ》とは呼ばせません」

僕「いや、テトラちゃんをそんなふうに呼ぶ人はいないと思うけど」

テトラ「実はですね、積分の計算そのものはできていませんが、 解法の作戦は見通しが立っているのですっ！」

僕「鼻息が荒いね」

テトラ「先日、先輩から積分のお話をお聞きしましたよね。 あれを思い出したんです（第137回参照）」

僕「そういえば、積分について、いろいろおしゃべりしたよね」

テトラ「はい。《積分の線型性》というお話がありました。 つまり、《和の積分は積分の和》を考えるのはよい方法だというお話です」

僕「うんうん、いいねえ！」

テトラ「言い換えますと、積分は《和》で考えると考えやすいけれど、 《積》の形になっていると考えにくいというわけですよね？　そして、 この村木先生のカードに出てきた積分は、 ま・さ・に《積》の形になっているのです！」

$$ \int_{0}^{2\pi} \sin mx \sin nx \,dx $$

僕「うん、僕もこのカードを見たとき、 同じことを考えたよ。 $\sin mx$ と $\sin nx$ の《積》だから。テトラちゃん、やるね！」

テトラ「はいっ！　そこでポリア先生の《問いかけ》が浮かびました。 《似ている問題を知らないか》という問いかけです。 似ている問題、似ている問題……と考えて思い出しました。 あたしは《積》の形の積分を解いたことがあります。 正確には解き方を教えていただいたんですけれど」

僕「おお？」

テトラ「その作戦を使えば、 $\sin mx$ と $\sin nx$ の《積》の形も解けるんじゃないか、 と、そういういうところまで考えたんです」

僕「作戦？」

テトラ「はい。《部分積分》です。 二つの関数があって、その積の形の積分があるとき、 それを求めるための方法ですよね！」

僕「え……」

テトラ「大丈夫です。部分積分の公式は暗記はしていないのですが、 導出方法は何回か練習しました。《積の微分》を使えば出てきます。 そして、 $\sin x$ や $\cos x$ の微分と積分はわかりますし、 $x$ が $mx$ や $nx$ になっていても、それは《合成関数の微分》 を考えれば大丈夫、ですよね！」

僕「それはそうなんだけど……」

テトラ「だったら、パーティのメンバーは集まったようなものです！　あとは、 作戦決行あるのみ！　これで問題を撃破できます！　……ということで、 これよりテトラ、計算の旅に出発いたします！」

僕「計算できた？　テトラちゃんの作戦で、うまく行けた？」

テトラ「……い、いえ。どうもおかしな具合になってしまいまして。 あたしはまず、部分積分の公式の導出から入ったんです。 試しに $\sin mx \cdot \sin nx$ という積を微分するところから始めました。 こうです」

$$ \begin{align*} & (\sin mx \cdot \sin nx)' \\ &= (\sin mx)'\cdot \sin nx + \sin mx \cdot (\sin nx)' && \REMTEXT{積の微分} \\ &= (\cos mx) \cdot (mx)' \cdot \sin nx + \sin mx \cdot (\cos nx) \cdot (nx)' && \REMTEXT{合成関数の微分} \\ &= m\cos mx\sin nx + n\sin mx\cos nx \\ \end{align*} $$

僕「うん、積の微分と合成関数の微分だね。これは正しいけど」

テトラ「はい、でもこれでは右辺の方に $\sin mx\sin nx$ が出てきません。 それであたしは別の積を微分することにしました。 $\sin$ を出すために $\sin mx\cdot \cos nx$ を微分すればいいのではないかと思ったんです」

$$ \begin{align*} & (\sin mx \cdot \cos nx)' \\ &= (\sin mx)' \cdot \cos nx + \sin mx \cdot (\cos nx)' && \REMTEXT{積の微分} \\ &= (\cos mx)\cdot (mx)'\cdot \cos nx + \sin mx \cdot (-\sin nx) \cdot (nx)' && \REMTEXT{合成関数の微分} \\ &= m\cos mx\cos nx - n\underline{\sin mx\sin nx} \\ \end{align*} $$

僕「うん、出てきたね」

テトラ「はい。これが出てくれば、あとは移項して、 この部分を左辺に持ってきて、積分します！」

$$ \begin{align*} n\sin mx\sin nx &= m\cos mx\cos nx - (\sin mx\cos nx)' \\ \sin mx\sin nx &= \frac{m}{n}\cos mx\cos nx - \frac{1}{n}(\sin mx\cos nx)' \\ \int_{0}^{2\pi} \sin mx\sin nx \,dx &= \frac{m}{n} \int_{0}^{2\pi} \cos mx\cos nx \,dx - \frac{1}{n} \int_{0}^{2\pi} (\sin mx\cos nx)' \,dx \\ \int_{0}^{2\pi} \sin mx\sin nx \,dx &= \frac{m}{n} \int_{0}^{2\pi} \cos mx\cos nx \,dx - \frac{1}{n} \left[\sin mx\cos nx \right]_{0}^{2\pi} \\ \end{align*} $$

僕「うん、確かに部分積分を使っていることにはなる……けど」

テトラ「はい……そうなんです。 $\sin mx\sin nx$ の定積分が左辺に来たのですが、 右辺には今度は、 $\cos mx\cos nx$ の定積分が来てしまいました！」

僕「そうだね」

テトラ「作戦失敗です……」

僕「最初の部分はよかったんだけどね……」

テトラ「最初の部分といいますと」

僕「うん。テトラちゃんが言ってた《積分の線型性》や、 《和の積分は積分の和》はとてもいい。 そして《積》の形が出てきたら要注意というのも正しい視点だと思うよ。 《似ている問題を知らないか》というのも大事だし……」

テトラ「……」

僕「テトラちゃんはそこで《部分積分》のことを考えてしまったんだけど、 部分積分がうまく使えるのは、 積の片方を微分したときに《うまい形》になるときなんだよ。 たとえば、こんな場合だよね。これは不定積分だけど」

$$ \int\, xe^x \,dx $$

テトラ「あ」

僕「思い出した？　 $xe^x$ は $x$ と $e^x$ の積なんだけど、 $x$ の方は $(x)' = 1$ と定数になるし、 $e^x$ の方は $(e^x)' = e^x$ のように形が変わらない。 だから部分積分がいい感じに使えるんだよ」

テトラ「思い出しました……そうでしたね」

僕「一般的に書くと、部分積分は、 $$ \int\, f(x)g'(x) \,dx = f(x)g(x) - \int\, f'(x)g(x) \,dx + C $$ という形だから、 $f(x) = x$ で $g(x) = e^x$ にすると、 $f'(x) = 1$ で $g'(x) = e^x$ になって、 $$ \begin{align*} \int\, xe^x \,dx &= xe^x - \int\, 1e^x \,dx + C \\ &= xe^x - e^x + C \\ \end{align*} $$ というふうに解けた」

テトラ「そうでした……」

僕「$\sin mx\sin nx$ は積の形になっているから、このまま積分しにくい。 でも、部分積分に進むんじゃなくて、 もっと直接的に《積》を《和》に持ち込む方法があるんだよ」

テトラ「直接的に？」

僕「忘れちゃったかなあ。三角関数の《和積公式》をこのあいだいっしょに計算したよね（第143回参照）」

テトラ「……！！」

僕「あのときは、 $\sin\alpha + \sin\beta$ を計算したんじゃなかったっけ」

テトラ「……」

僕「和積公式は《和》を《積》に直すわけだけど、それは左辺を右辺に変形したと考えた場合。 逆に使ってもまったく問題ないよね。つまり右辺の《積》を左辺の《和》にすることになる」

テトラ「先輩……あたしって、なんて応用力がないんでしょう！」

僕「いやいや、応用力というか、少し練習すればすぐにできるようになるよ」

テトラ「そうなんでしょうか」

僕「とりあえずは、 この和積公式を使いやすいように積和の形に変えてみようよ。 $$ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2} $$ つまり、これを $\sin\alpha\cos\beta = \cdots$ という形にするということだね。 練習練習」

テトラ「あ、はい。これはできます。 まず、 $X = \frac{\alpha + \beta}{2}$ と $Y = \frac{\alpha - \beta}{2}$ にするんですね。 そうすると、 $X + Y = \alpha$ で $X - Y = \beta$ になります。それで……」