第152回 シーズン16 エピソード2

3を作ろう（後編）

数って何だろう

僕「ところで、空集合から数を作っていく《ノイマンの方法》だけど、これだとまだ《数》って感じがしないよね」

ユーリ「どゆこと？ 一貫したルールで、 $0,1,2,3,\ldots$ を作れるよ？」

僕「うん。《互いに異なるものを、順番に作り出せる》ことはわかった。 でも、数ってそういうものだっけ？」

ユーリ「数って、どーゆーものだっけ？」

僕「何を知っていれば《数を知っている》といえる？」

ユーリ「……」

僕「数があれば、何ができる？」

ユーリ「……」

僕「数って、どういうものだと思う？」

ユーリ「……ねー、ちょっと黙っててよー」

僕「はいはい」

ユーリ「数があると数えられるよね。 $1$ 個、 $2$ 個、 $3$ 個って……どんどん多くしてけば」

僕「ほほう」

ユーリ「あと、計算もできる」

僕「なるほど！　計算。いいねえ！」

ユーリ「たとえば、 $5$ の $30$ 乗とか」

僕「おいおい。何でいきなりそんなすごい計算になるんだろう」

ユーリ「たとえば、 $3$ の $3$ 乗とか」

僕「その冪乗へのこだわりは何」

ユーリ「別にいーじゃん。掛け算でも割り算でも引き算でも足し算でも」

僕「うん、無難なところで足し算はどうだろう」

ユーリ「どーだろーって？」

僕「《ノイマンの方法》を使うと、空集合 $\{\}$ からはじめて、 $0,1,2,3,\ldots$ のように無数の数……っぽいものが作れることがわかった。 でもまだこの数っぽいもの、いわば《数もどき》には足し算が定義されていない」

ユーリ「でも、 $3 + 2 = 5$ なのは変わらないでしょ？」

僕「そうだよ」

ユーリ「だったら……え？　何を定義することがあるの？　足し算の結果がわかってるのに」

僕「確かに $3 + 2 = 5$ なんだけど、 それは数について知識として知っているだけだよね。 《ノイマンの方法》で作った《数もどき》については、ちゃんと定義してない」

ユーリ「《$3$ を作る》だけじゃなくて、《足し算も作る》ってゆー意味？　そんなの作れんの？」

僕「作れるよ……ユーリにいつだったか話したことがあるんだけど。 覚えてない？」

ユーリ「覚えてない」

僕「がく。でもいいよ。いまから話すから。 これから《ノイマンの方法》で作った《数もどき》に対して、 足し算を定義する。つまり $+$ という記号のルールを決めようというんだよ」

ユーリ「へー……じゃ、ほんとに足し算を作るんだ！」

僕「いっしょに考えていこう。足し算ってそもそも、どんなものだろう」

ユーリ「$3 + 2 = 5$」

僕「そうだね。《$3$ という数》がある。《$2$ という数》がある。 そして、《$+$ という記号》がある。それを並べて $3+2$ という式を作る」

ユーリ「うん。あいかわらず回りくどいけど」

僕「そして $3+2$ という式も数を表していて、その数は《$5$ という数》に等しい。 こういうことが《ノイマンの方法》で作った数もどき……めんどうだから数と呼ぶことにしよう……数でも、 きちんと定義できればいいわけだ」

ユーリ「ふむふむ。あっ、わかった！」

僕「え？」

ユーリ「全部定義しちゃえばいいってこと？　いまは $3+2=5$ だったけど…… $$ \begin{align*} 1 + 1 &= 2 \\ 1 + 2 &= 3 \\ 1 + 3 &= 4 \\ &\vdots \\ 2 + 1 &= 3 \\ 2 + 2 &= 4 \\ &\vdots \\ 100+1 &= 101 \\ &\vdots \\ 9999+1 &= 10000 \\ &\vdots \end{align*} $$ ……こんなふーに、ぜんぶの数の足し算の組み合わせを決めればいい？」

僕「おおお。ユーリは賢いなあ。確かにこれでも足し算を定義したことにはなる！　でも、ちょっとおもしろくないかな。いや、ぜんぜん悪くはないんだけど」

ユーリ「どこがおもしろくないの？」

僕「うん。すべての数の足し算をルールとして定めてしまうということは、 このルールを作る人がすでに足し算のことを知っていて、 それを数にあてはめているわけだよね。 たとえば、 $3 + 2 = 5$ というのは《なぜ》$5$ になるかは、 ルールを決めた人が理由もなく知っている。そこが何だかおもしろくないかな。 どうせ考えるなら《なるほど、確かにそれは足し算といえるな！》 という発見がほしい」

ユーリ「ふーん……その気持ち、ちょっとわかるかも。 でも、そんなのできるの？　だって、 $3 + 2 = 5$ に理由なんてないじゃん？」

僕「$3 + 2$ はちょっと難しいから、 $3 + 1$ で……いや、 $3 + 0$ で考えてみようか」

ユーリ「ほほー」

僕「もちろん、 $3 + 0 = 3$ になってほしいんだよ。 でも、まずは観察から。いまは《ノイマンの方法》で作った数を考えているわけだから、 $3 + 0 = 3$ はこんなふうに表せるよね。この等式が成り立ってほしい、という意味」

ユーリ「えーと。これは、 $3$ を $\{0,1,2\}$ に置き換えて、 $0$ を $\{\}$ に置き換えたってこと？」

僕「そうそう。いま僕たちは数のことは知らないけれど、 集合というものについては知ってる。それでこの $+$ という計算は何だろうかな、 って考えてようとしているんだよ」

ユーリ「……うーん、 $\{0, 1, 2\}$ が変わらにゃいけど。 あっ、集合を足すのがあったよね。もしかして、あれ？」

僕「和集合のこと？　すごいのを思い出したな。 $\cup$ だね」

ユーリ「それそれ！」

ユーリ「$X$ と $Y$ の和集合は $X \cup Y$ でしょ？　それで、ちょうど、ほら！　要素を足せばいい！」

僕「うん、確かに $$ \{0, 1, 2\} \cup \{\} = \{0, 1, 2\} $$ という式自体は正しいよ。 それに、空集合が出てくるときには、 $+$ という記号を、集合の $\cup$ に読み替えてうまくいきそうではあるけど……」

ユーリ「和集合で足し算を作る！　いーじゃん！」

僕「じゃ、これはこれとして、もう一つ別の計算を観察してみよう。 こんどは $3 + 1 = 4$ というのを《ノイマンの方法》で考える。 $3 + 1 = 4$ という等式が成り立って欲しい。 $3,1,4$ という数を集合の形で表すと……」

ユーリ「あれ……お兄ちゃん、だめだよ。和集合じゃだめだね。 だって、 $$ \{ 0, 1, 2 \} \cup \{ 0 \} = \{ 0, 1, 2, 0 \} = \{ 0, 1, 2 \} $$ でしょ。増えない。 $\{0,1,2,3\}$ にならない！」

僕「そうだね。だからユーリがさっき考えたような、和集合を作る $\cup$ を足し算として使うのはまずい、 ってことになる。少なくとも一般的にはまずい」

ユーリ「そっか……でもさー、それじゃ $\{0, 1, 2 \}$ はどうしたら $4$ になるの？」

僕「$4$ というのは《ノイマンの方法》だと、 $\{0,1,2,3\}$ だよね。 ユーリの疑問は、整理すると、こう言えるわけだ」

• $3 + 1 = 4$ を実現したい。
• $3$ は $\{0,1,2\}$ だ。
• $1$ は $\{0\}$ だ。
• $4$ は $\{0,1,2,3\}$ だ。
• どうやったら $3 + 1 = 4$ が実現できるだろうか。

ユーリ「……」

僕「……」