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第161回 シーズン17 エピソード1
2乗の広がり(前編) ただいま無料

書籍『数学ガールの秘密ノート/複素数の広がり』

この記事は『数学ガールの秘密ノート/複素数の広がり』として書籍化されています。

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登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

$ \newcommand{\HIRANO}{\unicode[sans-serif,STIXGeneral]{x306E}} $

僕の部屋

ユーリ「ねえ、お兄ちゃん。おもしろいクイズないの?」

「もう飽きたのか、早いなあ」

ユーリのいとこ。 さっきまでの本棚で読み物を物色していたが、 もうあきらめたらしい。

ユーリ「だって、最近あたらしい本増えてないじゃん。 もう全部読んじゃったよ」

「さすがに、そんなことはないだろ?」

ユーリ「読みたい本は全部読んじゃったってこと。 残っているのは読みたくない本だから、意味ないのー!  ねー、おもしろいクイズない? ややこしー数式が出てこなくて、 でも単純じゃなくて、引っ掛け問題でもなくて、 わくわくするクイズ」

「ハードルいきなり上げるなよ。じゃ、こういうクイズは?」

クイズ

$2 $乗すると$ 9$になる数は何か?

ユーリ「……ねー、お兄ちゃん。 ユーリはちゃんと《単純じゃなくて》っていったよね!」

「単純すぎた?」

ユーリ「あったりまえじゃん。 $2$ 乗すると $9$ になるのって、 $3 $と$ -3$でしょ?」

「そうだね。正解! よく $-3$ を忘れなかったね!」

$$ \begin{align*} 3^2 &= 3 \times 3 = 9 \\ (-3)^2 &= (-3) \times (-3) = 9 \\ \end{align*} $$

ユーリ「あんまりホメられた感じがしない。簡単すぎるもん」

クイズの答え

$2 $乗すると$ 9$になる数は、 $3$ と$-3$である。

「じゃ、もっと難しくしようか」

ユーリ「$2$ 乗して $16$ になるのは $4$ と$-4$だし、 $2 $乗して$ 25 $になるのは$ 5$と $-5$ だよ。 その系列はやめてね」

「話を先取りするなよ……それじゃ、こういうクイズは?」

クイズ

$2$乗しても変わらない数は何か?

ユーリ「簡単、簡単!  $1$ だね。 $1^2 = 1$ で変わらないから」

「ほんとう?」

ユーリ「む。その《先生トーク》はユーリがまちがっているってことだ!」

「探り入れるなよ」

ユーリ「わかった。 $1$ だけじゃないや、 $0$ もだ。 $0^2 = 0$ で変わらない」

「そうだね」

$$ \begin{align*} 0^2 &= 0 \times 0 = 0 && \text{$0$を$2$乗しても変わらない} \\ 1^2 &= 1 \times 1 = 1 && \text{$1$を$2$乗しても変わらない} \\ \end{align*} $$

ユーリ「ま、ちょっとしたまちがいは誰にでもあるもんだよ」

「それを自分で言うのか。ところで、 $0$ と$1$以外にあると思う?」

ユーリ「何が?」

「だから、 $2$ 乗しても変わらない数だよ。 確かに $0$ は$2 $乗しても値が$ 0$のままで変わらないし、 $1 $は$ 2$乗しても値が $1$ のままで変わらないよね」

ユーリ「うん、 $2$ 乗してみればわかるじゃん」

「でも、 $0$ と$1$以外に、そういう数はないんだろうか。 $2$乗しても値が変わらない数は、他にないんだろうか」

ユーリ「むむ……その《先生トーク》からすると、 思いがけないところにそーゆー数があるんだね?」

「ねえ、ユーリ。そういう探りを入れるのはやめようよ」

ユーリ「へーい……でも、 $0$ と$1$の他にはもうないと思うけど」

「ユーリはどうしてそう思ったんだろう」

ユーリ「だって、なさそーだもん。 あのね、マイナスの数って $2$ 乗したらプラスになっちゃうじゃん? さっきの、 $$ (-3)^2 = 9 $$ みたいに。ってことは、 マイナスの数は《$2$ 乗しても変わらない数》にはならない」

「なるほど。それはそうだね」

ユーリ「プラスの数だってそーだよ。たとえば、 $2$ 乗したら、 $3$ は$9$になるじゃん? $$ 3^2 = 9 $$ 《$3$ は$9 $になる》ってことは、$ 2$乗したら自分より大きくなっちゃうから《$2$ 乗しても変わらない数》にはならない……あ、 小さくなることもある。 $0.1$ とか。 $$ 0.1^2 = 0.01 $$ 《$0.1$ は$0.01$になる》んだから、小さくなる。 例外は $0$ と$1 $だけでしょ。$ 0$を掛けたら何でも $0$ だから、 $0$ に$0 $掛けても$ 0$のままだし、 $1 $に$ 1$掛けても大きさ変わらないから $1$ のまま」

「うん、ユーリは数の大きさに注目したんだね。

  • $x < 0 $($ 0$より小さい場合)
  • $x = 0 $($ 0$に等しい場合)
  • $0 < x < 1 $($ 0$と $1$ の間の場合)
  • $x = 1 $($ 1$に等しい場合)
  • $x > 1 $($ 1$より大きい場合)
の $5$ 通りに《場合分け》したことになる」

ユーリ「あー、そだね。そーなるね」

「こんな考え方もあるよ。 クイズの内容を方程式にしてしまうんだ」

ユーリ「ほーてーしき」

「《$2$ 乗しても変わらない数》というのは《言葉》で表しているけれど、 それを《数式》に置き換えて表してみよう。 $2$乗しても変わらないというのは、 その数を $x$ と置いたとき、 $x^2$ と$x$とが等しいといえる。 だから、《$2$ 乗しても変わらない数》を $x$ と置くと、 $$ x^2 = x $$ という $x$ に関する方程式ができる」

ユーリ「ほほー。出たな数式マニア……ってほどじゃないか」

「ほどじゃないね。 これで《言葉》から《数式》に移されたことになる。 あとは方程式を解いていけばいい」

$$ \begin{array}{ccrcl} & \quad & x^2 &=& x \\ \Leftrightarrow & & x^2 - x &=& 0 \\ \Leftrightarrow & & x(x - 1) &=& 0 \\ \Leftrightarrow & & x = 0 &\,\text{または}\,& x - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & & x = 0 &\,\text{または}\,& x = 1 \\ \end{array} $$

ユーリ「……」

「これで、 $x^2 = x$ を満たす $x$ は$0 $と$ 1$しかないことがわかった」

ユーリ「お兄ちゃん、いま式をサクサク書いたけど、この、 $$ \Leftrightarrow $$ はいったい何?」

「え? 話したことなかったっけ。 これは、 $$ P \Leftrightarrow Q $$ と書いたとき、左右の条件 $P$ と$Q$とが《同値》であることを表す記号だよ。 数学の式変形で使うときには、 数式を《同値変形》していくときにこういう書き方をすることがある」

ユーリ「どーち?」

「うん、まずね、矢印は $\Rightarrow, \Leftarrow, \Leftrightarrow$ の三種類がある」

「$P$ ならば $Q$」は「$P \Rightarrow Q$」と書く。

「$Q$ ならば $P$」は「$P \Leftarrow Q$」と書く。

「$P$ ならば $Q$ で、しかも、 $Q$ ならば $P$」は「$P \Leftrightarrow Q$」と書く。

「この最後の場合、つまり $P \Leftrightarrow Q$ が成り立つとき、 条件 $P$ と条件 $Q$ は《同値》というんだ。 そして、 $P$ と$Q$が数式で書かれているとき、 $P $を表す数式を$ Q$を表す数式に変形させることを《同値変形》 と呼ぶことがある」

ユーリ「うーん……お兄ちゃん、それってあたりまえのことを難しく言ってる?」

「あたりまえってことはないと思うけど」

ユーリ「だってね、 $$ \begin{array}{ccrcl} &\qquad& x^2 &=& x \\ \Leftrightarrow & & x^2 - x &=& 0 \\ \end{array} $$ というのがあったとするじゃん? これって $x$ を移項したってことでしょ?」

「そうだね、その通り」

ユーリ「それって、あたりまえじゃないの?」

「移項はあたりまえに見えるけれど、 さっきの問題を考えるときには、同値かどうかを意識するのは大事なんだよ。 もともとの疑問はこうだったよね。

$0 $と$ 1$は $2$ 乗しても変わらない。

では、

$2 $乗しても変わらないのは$ 0$と $1$ だけか?

ユーリ「そだね」

「いま言葉で表したことを $\Rightarrow$ を使って整理するね。 $$ \text{(A)}\qquad \text{《$x = 0$または$x = 1$》} \Rightarrow \text{《$x$は$2$乗しても変わらない》} $$ この$\text{(A)}$は成り立っていることはわかったけれど、 $$ \text{(B)}\qquad \text{《$x = 0$または$x = 1$》} \Leftarrow \text{《$x$は$2$乗しても変わらない》} $$ この$\text{(B)}$は成り立っているだろうか?」

ユーリ「ほほー。にゃるほど。$\text{(A)}$と$\text{(B)}$で、矢印の向きが《逆》になってる」

「そこだよ。まさにこれは《逆》というんだ。 $\text{(A)}$の逆が$\text{(B)}$で、 $\text{(B)}$の逆が$\text{(A)}$だね。 《$2$ 乗しても変わらない数が $0$ と$1$以外にあるだろうか》という問いは、 $\text{(B)}$を確かめる問題になるわけだ。 そこで、数式の同値変形が大事になる」

ユーリ「なんで?」

「$\text{(A)}$と$\text{(B)}$の両方が成り立つなら、 $$ \text{(C)}\qquad \text{《$x = 0$または$x = 1$》} \Leftrightarrow \text{《$x$は$2$乗しても変わらない》} $$ ということだからね。 《$x$ は$2 $乗しても変わらない》ということを、$ x^2 = x$という数式で表す。 そこから同値変形を続けていって、 《$x = 0$ または $x = 1$》にまでたどりつけるかどうか……それが大事になるからだよ」

ユーリ「同値変形って意識したことないよー」

「え?! 数式の《移項》や《展開》や《因数分解》なんかは、 ぜんぶ同値変形を作り出してるんだよ。 大事だから習ってるし、練習してる」

ユーリ「そっか。まーそれはいーとして、同値じゃない変形ってのもあるの?」

「もちろん、たとえば $x = y$ の両辺を $2$ 乗するような式変形。これは同値変形にならない」

$$ x = y \qquad \Rightarrow \qquad x^2 = y^2 $$

ユーリ「?」

「《$x = y$ が成り立つならば、 $x^2 = y^2$ が成り立つ》とはいえるよね。 でも、《逆》はいえない」

ユーリ「そゆことか。 $3^2 = (-3)^2$ はいえても、 $3 = -3$ とはいえないから?」

「そういうこと!」

グラフで考える

「ところで、グラフで考えると《$2$ 乗しても変わらない数》は $0$ と$1$しかないことがよくわかるよ」

ユーリ「グラフで考える?」

「うん。ほら、 $y = x^2$ のグラフが放物線になるって話は知ってるよね。 こういうグラフ」

$y = x^2$ のグラフ(放物線)

ユーリ「うん。わかる」

「この放物線の方程式は $y = x^2$ だから、 この放物線の上にある点は必ず $y = x^2$ という式を満たしていることになるよね」

ユーリ「えーと? ……うん。いーよ。 $(0,0)$ とか $(2,4)$ とか $(3,9)$ とか?」

「そうそう。そして、この放物線のグラフに重ねるようにして、 $y = x$という直線のグラフを描いてみる」

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x$ のグラフ

ユーリ「ふんふん?」

「この直線の方程式は $y = x$ だから、 この直線上の点は、 $y = x$ という式を満たしていることになる」

ユーリ「あ、わかってきた……」

「そこで、放物線 $y = x^2$ と、直線 $y = x$ の交点を考える。 すると、交点は、放物線と直線の《両方》の上にあるわけだから、 $y = x^2 $と$ y = x$の両方の式を満たす」

$$ \left\{\begin{array}{llll} y &= x^2 && \text{放物線} \\ y &= x && \text{直線} \\ \end{array}\right. $$

ユーリ「……連立方程式だ!」

「そうだね! その通り。 だから、《放物線と直線の交点を求める》というのは、 《この連立方程式を解く》ということになる。 そしてグラフを見ると、交点は $2$ 個しかない。 $x = 0$ のときと、 $x = 1$ のときと」

交点は $2$ 個

ユーリ「にゃーるほど。だから、《$2$ 乗して変わらない数》ってゆーのは $0$ か$1$といえる?」

「そうなるね。その二つしか交点がないから」

ユーリ「ふむふむ」

「それから、このグラフをよく見ると、 さっきの場合分けがどこに出てくるかもよくわかる」

ユーリ「さっきの場合分けって何だっけ」

「ユーリが考えたやつだよ。

  • $x < 0 $($ 0$より小さい場合)
  • $x = 0 $($ 0$に等しい場合)
  • $0 < x < 1 $($ 0$と $1$ の間の場合)
  • $x = 1 $($ 1$に等しい場合)
  • $x > 1 $($ 1$より大きい場合)
という $5$ 通りに分けたよね。それはこのグラフにきれいに現れている。放物線と直線が交わるところとそれ以外だね。 $2 $つの交点と、その交点で分けられた$ 3$つの領域がある」

ユーリ「そっか!」

「放物線が直線より上の方になっているのは、 $x^2 > x$ になるところだよね。 そして、放物線が直線より下の方になっているのは $x^2 < x$ になるところ」

ユーリ「ははー、そだね。そして、交点のところはちょーど $x^2 = x$ になるところ!」

「そうそう、そういうこと。こんなふうに《グラフ》で表すと、 目で見て確かめることができる。なかなかいいよね」

ユーリ「……」

「数学だと、よくこういうことがあるよ。 《言葉》を使って表したり、 《数式》を使って表したり、 それからいまのように《グラフ》を使って表したり。 同じことでも、違った表し方をすると新しい発見があるんだね……って、これも《先生トーク》認定されそうかな。ははは」

ユーリ「……」

「ねえ、ユーリ?」

ユーリ「あのね? 他のグラフってない?」

「他のグラフ?」

ユーリ「いま、ほら、 $x$ と$y $のグラフを描いたじゃん? $ x$と $x$ のグラフみたいなのってない?」

「$x$ と$x$のグラフ……ごめん、何のことだかわからないなあ」

ユーリ「えー、ほら、お兄ちゃんが描いて教えてくれたじゃん。《マイナス×マイナス》のとき」

「よく覚えてないけど、描いてみてよ」

マイナス×マイナス

ユーリ「たとえば $3$ に$-1$を掛けるとするじゃん? $$ 3 \times (-1) $$ そーすると、 $3$ のところにあった点が、パタンと回って $-3$ に来るでしょ?」

$3$ は、パタンと回って $-3$ に来る

「そうなるね。 $-1$ を掛けたら」

ユーリ「だから《$-1$ を掛ける》ってゆーのは《パタンと回す》ことと同じ……って教えてくれたじゃん。 このグラフで」

「ああ、そういうことか。これはグラフとはいわなくて、数直線だよ」

ユーリ「何でもいーけどさ。そんで、これを使えば、マイナス×マイナスがプラスになるのは、 すごく納得いく。 だって、《$-3$ に$-1 $を掛ける》ってゆーのが《$ -3$の点をパタンと回す》ことなら、 確かに $3$ になるから!」

$-3$ をパタンと回したら $3$ に来る

「そうだね。とても納得いくよね……これのことを思い出してたの?」

ユーリ「そだよん。 いまのは、 $3$ に$-1$を掛けてパタンパタン動かしたけど、 もしも、 $2$ 乗したら、どんな動きになるかにゃあ……って、考えてたの」

「なるほど! ユーリ、おもしろいこと考えたなあ!」

数直線上の数を $2$ 乗したら、 それぞれの点は、どこへ移動するだろうか。

ユーリ「さっきから考えてたんだけど、これってそんなに難しくないよね?」

「そうだね」

ユーリ「$0$ と$1$は、すぐにわかるの。 だって、この点は $2$ 乗してもまったく動かないわけでしょ?」

「うんうん、そうなる。不動点だ。そして数直線上で不動点なのはその $2$ つだけだね!」

$0$ と$1 $は$ 2$乗しても動かない

ユーリ「それから、 $x > 1$ にある点は、 $2$乗するとすんごく遠くに行くの。右のほうに。 右にある点ほど、ずっと右に行くんだよ。だって $2$ 乗だから」

$x > 1$ の点はずっと右に

「そうなるね。 $2$ は$4 $に、$ 3$は $9$ に、 $4$ は$16 $に……そして、$ 10 $は$ 100$に」

ユーリ「$0 < x < 1$ の点がちょっと言いにくいんだけど、 $0 $の方にぎゅっと押しつけられる感じ? しかも、左にある点ほど、ずっと$ 0$に近づくの」

「確かに。 $\frac12$ は$\frac14 $に、$ \frac13 $は$ \frac19$に……」

$0 < x < 1$ の点は $0$ に近づく

ユーリ「そんで、残りはマイナスだけど、これはカンタン。 だって、パタンと回した後で、さっきと同じことすればいーから」

「そうなるね。ということは、 $x < -1$ の点は、ずっと右に行き、 $x = -1 $の点は$ x = 1 $に重なり、$ -1 < x < 0 $の点は$ 0$に近いものほど、もっと $0$ に近づく」

$x < 0$ はパタンと回して考える

グラフと数直線

「……ユーリのおもしろい話で、お兄ちゃんも気付いたよ。 さっきの放物線のグラフとの関係」

ユーリ「何のこと?」

「いまユーリは数直線上の $x$ を$x^2$に移すっていう問題を考えたよね。 $0 $と$ 1$だけ不動点で、あとはいろいろ動いた」

ユーリ「そだね。いろいろね」

「その《動き》は、さっきの放物線のグラフから読み取れるんだよ。 まあ、あたりまえのことだけど」

ユーリ「何言ってるかわかんない」

「たとえば $a$ が$a^2$に動くのはこんな感じになるよ。

  • $x $軸の点$ a$に垂直線を引いて、放物線 $y = x^2$ との交点を求める。
  • 交点から水平線を引いて、直線 $y = x$ との交点を求める。
  • その交点から垂直線を引いて $x$ 軸との交点を求めると、そこが $a^2$ になる。
だから、グラフで $a$ から $a^2$ への動きがわかるんだね」

グラフを利用して、 $a$ の点から $a^2$ の点を得る

ユーリ「うーん、それは何で?」

「垂直線と放物線との交点を求めるところで、 $a$ から $a^2$ はもう求められたんだけど、 できた $a^2$ の値は $y$ 座標として表されている。 その $y$ 座標を $x$ 座標に移すために直線 $y = x$ を使ったんだよ」

ユーリ「なーるほど。放物線にぶつかって、直線にぶつかって、戻ってくるんだ」

「$x < 0$ の数いくつかで試してみよう」

ユーリ「確かにー!」

「この図を使うと、もっとわかることがあるよ。 $x $座標が$ a$になっている点は、 $2$ 乗すると $a^2$ に動く。 だったら、 $2$ 乗すると $b$ に動いてくる点は、もともとどこにあったか?」

ユーリ「……ははーん。反対にたどるんでしょ!」

「そうだね。ただし、もともとの点は一つとは限らない。 反対にたどると、放物線と $2$ 点で交わるときがあるからね」

ユーリ「そーだね!」

「反対にたどってみよう」

  • $x $軸の点$ b$に垂直線を引いて、直線 $y = x$ との交点を求める。 $b \geq 0$ とするよ。
  • 交点から水平線を引いて、放物線 $y = x^2$ との交点を求める。
  • ここで $2$ つに分かれるときがある!
  • 交点から垂直線を引いて $x$ 軸との交点を求めると、そこは $-\sqrt{b}$ と$\sqrt{b}$になる。

グラフを利用して、 $b$ の点から $-\sqrt{b}$ と$\sqrt{b}$を得る

ユーリ「$9$ から始めたら、 $-3$ と$3$に戻ってくる?」

「そういうことになる。 $-\sqrt{9} = -3 $で$ \sqrt{9} = 3 $だからね。ちゃんと$ 2$つの答えが出てくる。 数を $2$ 乗するときに起きることが、 こんなふうにグラフに現れてくるのは楽しいね!」

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(第161回終わり)

(2016年7月8日)

書籍『数学ガールの秘密ノート/複素数の広がり』

この記事は『数学ガールの秘密ノート/複素数の広がり』として書籍化されています。

書籍化にあたっては、加筆修正をたくさん行い、 練習問題や研究問題も追加しました。

どの巻からでも読み始められますので、 ぜひどうぞ!

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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki


『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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