第164回 シーズン17 エピソード4

計算の形（後編）

僕の部屋

僕「こんなふうに《複素数》を複素平面上の《点》だと考えると、 《複素数の計算》は《点の移動》として考えることができるね。 だから、計算でいろんな形を作ることができる」

ユーリ「そだね……ふよよ？」

僕「ふよよ？」

ユーリ「ちょっと待って、いまひらめいたことがある。 《複素数》を複素平面上の《点》として考えるって、 そーじゃなきゃいけないわけじゃないよね？」

僕「どういうこと？」

ユーリ「だーかーら！　《点》じゃないもので《複素数》を考えてもいーよね？」

僕「うーん、まだよくわからないけど、ユーリはどんなことを考えてるの？」

ユーリ「複素数 $a + bi$ があるでしょ？　それって二つの実数じゃん？」

僕「まあそうだね。 $a$ と $b$ は実数で、だからこそ $(a,b)$ という点が複素数に対応している」

ユーリ「てことは、二つの実数を図に描けば、それは複素数になるよね？」

僕「……ごめん、お兄ちゃんには複素平面上の点しか思いつかないんだけど」

ユーリ「こーゆーの！　すごくシンプル！　《線分》で表すから、名付けて《複素線分》なんちゃって」

僕「ええと、これは、複素数 $a+bi$ の $a$ と $b$ を線分で結んだってことかなあ」

ユーリ「そだよ。もちろん。見ればわかるじゃん」

僕「なるほどね。確かに、これは複素数を表しているな」

ユーリ「でしょでしょ？　ね、ユーリって天才？　 こんなの考えるなんて、将来が楽しみ？」

僕「確かに、 $a+bi$ はこの《複素線分》に対応しているから、 複素数を図で表しているといえるね。ただ……」

ユーリ「ただ？　何か文句あるの？」

僕「いや、《複素数》という数と、この《複素線分》という図とは、 どういう関係になっているのかな、って思ったんだよ。 ほら、《複素平面》の場合には、 《複素数を加える》ことは《平行移動》になっていたよね」

ユーリ「この《複素線分》だって同じだよ！　だって、ほら、 $a + bi$ に $1 + i$ を足したら……ね？　平行移動してる！」

僕「なるほど……いやいや、それは違うな。それはたまたま平行移動に なっているだけだよ。《$1 + i$ を加える》っていうのは、 実部と虚部に同じ数を加えているから、たまたま平行移動になったんだ。 たとえば、 $a + bi$ に $2-i$ を足してごらんよ」

ユーリ「え……あ……そっか」

僕「確かに、ユーリが考えた《複素線分》は《複素数》を図で表しているといえる。 それはまちがいないし、すごいことだと思うよ。 でも《複素数》を《複素線分》という図で表して、 どんな意味があるのかは、よくわからないなあ……」

ユーリ「むー……そっか。図で表せばいいってもんでもないんだ」

僕「そうだね……」

ユーリ「あ、でも、《複素線分》でもいえることあるよ！ たとえば、 $a + bi$ を $2$ 倍すると、 $2a + 2bi$ になるから、 《複素線分》は平行移動になる！」

僕「え？　ならないよ、たとえば $1 + 2i$ を $2$ 倍したら $2+4i$ だよね」

ユーリ「ありゃ。ならないか……むー」

僕「ならないね。 そう考えると、やっぱり《複素平面》というのはなかなかすぐれた表し方なんだね」

ユーリ「《複素平面》だと《$2$ 倍》ってどーなるの？

僕「考えてみればわかるよ。たとえば、 $2$ の点は $4$ に移動するし、 $-2$ の点は $-4$ に移動するよね」

ユーリ「え？　あ、そだね。 $0$ の点は動かない。だから、 実数はぐわーっと広がる感じ？」

僕「そうそう。それから、 $2i$ の点は $4i$ に、 $-2i$ の点は $-4i$ に移動」

ユーリ「あ、わかった！　 $0$ を中心にして、みんなぐわーっと広がるんだ！」

僕「そうだね。《複素数 $a+bi$ を $2$ 倍する》というのは、 《点 $(a,b)$ を $(2a,2b)$ に移す》という操作に対応する。 そしてそれは円が広がるような操作になるんだね」

ユーリ「なーるほど！　半径が $2$ 倍？」

僕「そうだね。そしてね、 原点 $(0,0)$ と $(a,b)$ との《距離》を計算してみると、 《複素数を $2$ 倍する》と、《複素数の絶対値が $2$ 倍になる》し、 《原点からの距離も $2$ 倍になる》ことが数式で確認できるよ」

ユーリ「数式？　距離？」

僕「ほらほら、ピタゴラスの定理で説明したよね。 複素数の絶対値！」

僕「$\ABS{2(a + bi)}$ が、 $\ABS{a + bi}$ のちょうど $2$ 倍になるのはかんたんに証明できるよ。 計算すればいいんだ」

$$ \begin{align*} \ABS{2(a + bi)} &= \ABS{2a + 2bi} && \REMTEXT{展開した} \\ &= \sqrt{(2a)^2 + (2b)^2} && \REMTEXT{絶対値の定義にあてはめた} \\ &= \sqrt{4a^2 + 4b^2} && \REMTEXT{カッコをはずした} \\ &= \sqrt{4(a^2 + b^2)} && \REMTEXT{$4$でくくった} \\ &= \sqrt{2^2 (a^2 + b^2)} && \REMTEXT{$2^2 = 4$だから（ルートの外に$2$を出す準備）} \\ &= 2\sqrt{a^2 + b^2} && \REMTEXT{ルートの外に$2$を出した} \\ &= 2\ABS{a + bi} && \REMTEXT{絶対値の定義にあてはめた} \\ \end{align*} $$

ユーリ「なーるほど……」

僕「だから、 $$ \ABS{2(a + bi)} = 2\ABS{a + bi} $$ が証明できた」

ユーリ「お兄ちゃんって、こういうとき数式出すの好きだよね。 さすが《数式マニア》の二つ名はダテじゃないにゃ」

僕「その二つ名を口に出すのユーリだけだよ、言っとくけど。 それにこれはマニアってほどじゃない計算だし」

ユーリ「そーなんだ」

僕「だって、証明したいことは $\ABS{2(a+bi)} = 2\ABS{a+bi}$ なんだから、何とかして $2$ をくくり出せ！という方針がはっきりしてる」

ユーリ「そっか」

僕「ともかく、 $a$ と $b$ という文字を使って計算したから、 複素平面のどんな点に対しても $\ABS{2(a+bi)} = 2\ABS{a+bi}$ がいえると断言できる。 数式はそこがいいんだよ。たった一言で《すべて》を扱えるんだから。 文字を使えば一般化して議論ができる」

ユーリ「はいはいはい、熱弁だにゃあ。 ところでね、いま $2$ と書いたところも《いっぱんか》できるの？」

僕「それはすばらしい指摘だな！　そうだね……うん、じゃ、これを証明するのかな？」

ユーリ「そだね……あり？　おかしくない？」

僕「なにがおかしいのかな」

ユーリ「だってね、 $r = -2$ のとき、変なことになるもん」

僕「よく気付くなあ。そうだね。 さっきの式はすべての実数 $r$ で成り立つとは限らない。 $r \geqq 0$ という条件が必要になるね」

ユーリ「これ、さっきと同じ計算すればいーってことだよね」

$$ \begin{align*} \ABS{r(a + bi)} &= \ABS{ra + rbi} \\ &= \sqrt{(ra)^2 + (rb)^2} \\ &= \sqrt{r^2a^2 + r^2b^2} \\ &= \sqrt{r^2(a^2 + b^2)} \\ &= r\sqrt{a^2 + b^2} \\ &= r\ABS{a + bi} \end{align*} $$

僕「そうだね。そして、 $\sqrt{r^2(a^2 + b^2)} = r\sqrt{a^2 + b^2}$ のところで、 $r \geqq 0$ を使ったことになる。 実数 $r$ を $2$ 乗してルートを取ったときに元に戻るのは、 $r \geqq 0$ のときだけだから。 $r < 0$ ならマイナスを付ける必要が出る」

ユーリ「これ、さっきお兄ちゃんが言ってた話じゃん」

僕「そうだっけ」

ユーリ「これって、 $r$ の《絶対値》ってことだよね！」

僕「おっと、そうだね、その通り！　だから《$r$ 倍した複素数の絶対値》は、 《複素数の絶対値の $\ABS{r}$ 倍》といえる」

ユーリ「ねーお兄ちゃん。絶対値って《大きさ》みたいなもの？」

僕「まあ、そうだね。ある意味では複素数の《大きさ》みたいなものだね。 絶対値は必ず $0$ 以上になる。マイナスにはならない」

ユーリ「実数でも複素数でもそうだよね。絶対値」

僕「そうそう、そうなるね。さっき（第163回）も話したけど、 複素数の絶対値の定義は、実数の絶対値とうまく合っている。 複素数 $a+bi$ で $b = 0$ にしたときにはちょうど実数の絶対値の定義になっているから」

ユーリ「でね、でね、 《大きさ》は絶対値ってわかったけど、《向き》はどこにあるの？」

僕「《向き》はどこにあるか？」