第173回 シーズン18 エピソード3

すべての人が好きなもの（前編）

対偶

ユーリ「ねーお兄ちゃん。対偶って、数学でよく使うの？」

僕「そうだね。何かを証明しようとして、直接証明するのが難しいとき、 対偶を証明してしまえばいいから、よく使うよ。 《命題の言い換え》をするのに対偶はよく使う」

ユーリ「めーだいのいいかえ」

僕「うん。《$P$ ならば $Q$》という形のものを証明する代わりに、 《$Q$ でないならば $P$ でない》という対偶の方を証明するってことだね」

ユーリ「$P \to Q$ の代わりに $(\LNOT P) \gets (\LNOT Q)$ を証明……ってややこしーじゃん」

僕「そうだね。《$P$ でないならば $Q$ でない》という命題を証明する代わりに、 《$Q$ ならば $P$》を証明する。これなら簡単になっているよね」

ユーリ「そっか……それは、 $\LNOT(\LNOT P) \equiv P$ だから？」

僕「そうそう」

$$ \begin{align*} \REMTEXT{《$P$でないならば$Q$でない》} & \equiv (\LNOT P) \to (\LNOT Q) && \REMTEXT{《ならば》の定義から} \\ & \equiv (\LNOT(\LNOT P)) \LOR (\LNOT Q) && \REMTEXT{$\to$ の定義から} \\ & \equiv P \LOR (\LNOT Q) && \REMTEXT{$\LNOT(\LNOT P) \equiv P$だから} \\ & \equiv (\LNOT Q) \LOR P && \REMTEXT{$\LOR$ の交換法則から} \\ & \equiv Q \to P && \REMTEXT{$\to$ の定義から} \\ & \equiv \REMTEXT{《$Q$ならば$P$》} && \REMTEXT{《ならば》 の定義から} \\ \end{align*} $$

僕「たとえば、具体的な話をしようか。 数学ではよくこういうのが出てくるよね。 《実数 $x$ が $1$ より大きくないならば、実数 $x$ は $3$ より大きくない》は正しい？」

ユーリ「えーと？　正しい……？」

僕「正しいね。もちろん直接考えてもいいけれど、 対偶を考えるとすっきりわかる。 だって《実数 $x$ が $3$ より大きいならば、実数 $x$ は $1$ より大きい》を考えればいいから」 $3$ より大きいなら、 $1$ より大きいというのはすぐわかる」

ユーリ「ふんふん……ん？　ダウト！」

僕「なぜダウト？」

ユーリ「ねえ、お兄ちゃん。《実数 $x$ が $3$ より大きい》っていうのは、命題なの？」

僕「ああ、そうかそうか。ユーリは賢いなあ！」

ユーリ「照れるじゃん。そんなことあるけどさ」

僕「否定しないんだ」

ユーリ「命題っていうのは、真か偽か決まるものでしょ？　《実数 $x$ が $3$ より大きい》って、 真か偽か決まらないから命題じゃないんじゃない？　 $x$ が $100$ なら $3$ より大きくて真だけど、 $x$ がマイナス $100$ 億だったら $3$ より大きくはないから偽」

僕「マイナス $100$ 億って……ダイナミックだなあ。でも、ユーリは完全に正しいよ。 《実数 $x$ が $3$ より大きい》というのは命題じゃないね。 うん。こういうのは述語っていうんだ」

ユーリ「じゅつご」

僕「うん。《実数 $x$ が $3$ より大きい》には、 $x$ という変数が出てきている。 これが実数の何かだということはわかるけれど、具体的な値は決まっていない。 具体的な値を決めさえすれば、命題と同じように真偽が決まるよね」

ユーリ「マイナス $100$ 億」

僕「そうそう、そういう具合にね。そのように、 $x$ に具体的な値を代入したとすれば、 《実数 $x$ が $3$ より大きい》という述語は《実数 $-100$ 億は $3$ より大きい》という命題になる。 この場合は偽の命題になるけれど」

ユーリ「はー。何だか当たり前のことをくどくど言ってるみたいだけど、わかった」

僕「命題を使ったものは命題論理という。それに対して、 こういう述語が出てくるものは述語論理というんだよ。 命題論理と述語論理、両方で共通な考え方もあるけれど、違う考え方もあるよね」

ユーリ「共通な考え方もあるけど、違う考え方もあるって、何も言ってないのでは」

僕「突っ込むなよ。いや、突っ込んでいいんだけどね。 真と偽とか、逆や対偶とかは両方で共通だけど、述語論理には《すべて》や《ある》が出てくるよね」

ユーリ「《よね》と言われましても」

僕「述語論理には《すべて》や《ある》が出てくるんだよ……まあ、それにしても《実数 $x$ が $3$ より大きい》が命題じゃないってよく気付いたね」

ユーリ「ふふん。お兄ちゃんの秘密兵器を使ったのであるよ」

僕「秘密兵器？」

ユーリ「お兄ちゃんがよくいう《定義にかえれ》のこと。 命題は真と偽が定まるものなんだから、あれ？って思ったらそれに当てはめて考えるんでしょ？」

僕「なるほどね。《定義にかえれ》は《ポリヤの問いかけ》の一つだね。 もっとも《定義にかえれ》っていうのは問題で行き詰まったときの脱出方法だけど……でも、 ユーリが定義に照らし合わせたのはそもそもすごいよ」

ユーリ「ふふ」

概念と表現

僕「命題論理だと、 $P$ や $\LNOT P$ や $P \to Q$ という形の命題を扱うけど、 それだと $x > 3$ のようなものを扱うことができない」

ユーリ「$x > 3$ は命題じゃないから」

僕「そういうこと。でも、 $x > 3$ が表せないなんて不便でしょうがない。 述語論理を使えばもっといろんな概念を式で表すことができる」

ユーリ「がいねん？」

僕「概念っていうのは、うーん、何ていえばいいかな。考えていることや、伝えたいもののこと。 別に数学の用語じゃないけどね。 概念は概念のままだときちんと考えられなかったり、 伝えられなかったりする。脳から脳へ概念を伝えるわけにいかないから。 だから概念をどう表現するかに注意しなくちゃいけない」

ユーリ「ひょーげん」

僕「文字や図や数式で表したもののことだね」

ユーリ「あっ！　お兄ちゃんが好きなやつだ」

僕「そう？」

ユーリ「お兄ちゃん、すぐ数式書きたがるじゃん？　それって表現したがりってこと」

僕「そ、そうだね。確かにそうかも！」

ユーリ「自覚なかったんかい」

述語論理

僕「さっきの話に戻るけど、 《実数 $x$ が $1$ より大きくないならば、実数 $x$ は $3$ より大きくない》というのは述語論理を使って表す話になるんだね。 少し分解すると、こうなる」

$$ \REMTEXT{《実数$x$は$1$より大きくない》} \to \REMTEXT{《実数$x$は$3$より大きくない》} $$

ユーリ「これは《ならば》を $\to$ にしたってこと？」

僕「そうだね。長い文章はまちがえやすいし、考えを進めることが難しい。 だから、より短いものに分解して、それらを組み合わせて何かを表現していることになる」

ユーリ「表現」

僕「算数でも数学でも文章題ってあるよね」

ユーリ「『たかしくんが $100$ 円を持ってジュースを買いに行きました』」

僕「そうそう、それそれ。文章題を解くのも同じで、長い文章の中から、考えを進める上で大事なものを抜き出して、 数式で表して計算をするよね」

ユーリ「まーね。そんなこと考えたことなかったけど」

僕「たとえばさっきの、 $$ \REMTEXT{《実数$x$は$1$より大きくない》} \to \REMTEXT{《実数$x$は$3$より大きくない》} $$ だけど、ここまで言い換えると、機械的にこんなふうに書き直せる。対偶だね」

$$ (\LNOT \REMTEXT{《実数$x$は$3$より大きくない》}) \to (\LNOT \REMTEXT{《実数$x$は$1$より大きくない》}) $$

ユーリ「ふんふん。それ、さっきやったことだね。 次は、 $(\LNOT \REMTEXT{《ナントカじゃない》})$を$\REMTEXT{《ナントカである》}$にするんでしょ？　否定の$\LNOT$をひっくり返すの」

$$ \REMTEXT{《実数$x$は$3$より大きい》} \to \REMTEXT{《実数$x$は$1$より大きい》} $$

僕「そうそう。それで、 $x > 3$ ならば $x > 1$ が正しいということがわかりやすい。便利だろう？」

ユーリ「……」

僕「？」

ユーリ「……ねー、お兄ちゃん」

僕「なに？」

ユーリ「ユーリ、馬鹿かも」

僕「何をいうやら。ユーリは馬鹿じゃないよ。どうしてそんなことを言うんだろう」

ユーリ「あのね、ユーリね、 $x > 3$ ならば $x > 1$ は正しいって思うの。正しいってことは真だってことでしょ？　それなのにね、 《$x > 3$ ならば $x > 1$》ってゆーのが、どーしても、命題には見えないの！　だって変数 $x$ があるから、これって述語でしょ？」