第178回 シーズン18 エピソード8

背理法をめぐって（後編）

図書室にて

テトラ「《$\SQRT{2}$ が有理数ではない》ことの証明はできたのですが、 これ以外にも背理法が使われる証明はあるんでしょうか？」

僕「それはもちろんあるよ。 背理法を使った証明はほんとうに頻繁に出てくるから」

テトラ「そうなんですね……」

僕「……え？」

テトラ「……え？」

僕「どうしたの？」

テトラ「あ、あの……他の問題を出してくださるのかな、と思いまして」

僕「ああ、そういうこと？　うーん、よく出てくるけど、 改めて言われると……うん、このあいだこんな問題を見たよ。 簡単な問題だけど」

テトラ「$a^2 + b^2 = c^2$ というと、三平方の定理ですね？　直角三角形の三辺」

僕「うん、そう考えてもいいけれど、それ以前に重要な条件があるよね」

テトラ「条件……ああ、《$a,b,c$ は整数》ですか？」

僕「そうだね。使われている文字 $a,b,c$ がすべて整数であるというのは、 とても重要な条件だよ」

テトラ「はい。それで《$a,b,c$ は整数》として、 $a^2 + b^2 = c^2$ が成り立っているとき、 $a,b,c$ のどれかが偶数だと」

僕「そうだね。それを証明すればいいんだ」

テトラ「……たとえば、 $a = 3, b = 4, c = 5$ とすると、 $$ \begin{array}{ccccc} a^2 &+& b^2 &=& c^2 \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ 3^2 &+& 4^2 &=& 5^2 \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ 9 &+& 16 &=& 25 \\ \end{array} $$ ということで、確かに $b = 4$ という偶数がありますね」

僕「うん？」

テトラ「え、まちがっていました？」

僕「いや、そうじゃなくて、 いまテトラちゃんは《試しにやってみた》ってことだよね。 《証明した》と言いたいわけじゃなくて」

テトラ「はい、そうですが……何か、まずかったでしょうか」

僕「いやいや、それならいいんだよ。問題が与えられたときに、 具体的な数を試しに当てはめてみるというのはとてもいいことだから」

テトラ「はいっ！　《例示は理解の試金石》ですものね」

僕「そう、具体例はとても大切。証明と勘違いしなければね」

テトラ「あの……すみません、 先輩がわざわざそのようにおっしゃる理由をお尋ねしてもいいでしょうか」

僕「うん。あのね、さっきの問題1はこうだよね」

テトラ「はい」

僕「整数 $a,b,c$ の組を $(a,b,c)$ と書くと、 さっきテトラちゃんが考えたのは $(a,b,c) = (3,4,5)$ という一つの組だったわけだね」

テトラ「はい、そうですね。直角三角形の三辺で $3,4,5$ というのを覚えていたので、 それで確かに $4$ という偶数があると思ったんです」

僕「うん。その確かめはいいんだけど、 たった一つの組に対して《$a,b,c$ のいずれかは偶数になる》といえても証明が終わったわけじゃない……とそれを言いたかっただけだよ。 もしかしたら、 $(3,4,5)$ とは別の $(a,b,c)$ という組があって、 それは $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすのにすべてが奇数かもしれないから」

テトラ「はいはい、それはわかっております。大丈夫ですっ！　一つを調べても、ぜんぶを調べたことにはなりませんから」

僕「そうだね。ところで、この問題1はこんなふうにすれば証明できるよ」

テトラ「はい、わかります。《証明したいことの否定を仮定して、矛盾を導く》……ですよね？」

僕「そうだね。証明したいことは、

　《整数 $a,b,c$ のどれかは偶数である》

だった。 $a,b,c$ の少なくとも一つは偶数ということだね。言い換えると、

　《$a$ は偶数》または《$b$ は偶数》または《$c$ は偶数》

が証明したいこと。これを否定すると、 $a,b,c$ は整数だから、

　《$a$ は奇数》かつ《$b$ は奇数》かつ《$c$ は奇数》

つまり、

　《整数 $a,b,c$ はすべて奇数である》

が背理法の仮定になるね」

テトラ「はいはい」

僕「あとは左辺と右辺の偶奇に注目して計算するだけ。 この証明の中では、 $b = 4$ のような具体的な数はまったく出さずに、 すべての整数について成り立つような論理を重ねてきたことになるね。 そして、最後に矛盾を導けば、背理法で証明ができたことになる……という流れ」

テトラ「はい、分かります。左辺は偶数、右辺は奇数になって矛盾……あれ？　矛盾？」

僕「そうだよ」

テトラ「質問です！　矛盾というのは、 《$Q$ である》と《$Q$ ではない》が両方いえることですよね？　左辺は偶数で、 右辺は奇数というのも矛盾なんでしょうか？」

僕「ああ、そうだね。確かにそこには省略があるといえばあるね。 もともと前提として、

《$a^2 + b^2 = c^2$ である》

といえていた。 ところが、すべて奇数だと仮定すると、 左辺と右辺の偶奇が異なる。 偶奇が異なるなら、左辺と右辺は等しくない。 つまり、

《$a^2 + b^2 = c^2$ ではない》

といえる。 矛盾しているよね？」

テトラ「確かに！

　《$a^2 + b^2 = c^2$ である》と《$a^2 + b^2 = c^2$ ではない》

がいえてますね。《$Q$ である》と《$Q$ ではない》という形……納得です！」

僕「さっきの解答1では省略があるといえばあるけれど、 証明としては問題ないと思うよ。もっと省略して書いてもいいくらい。 こんなふうに」

テトラ「短いですね！」

僕「短く書くときでも《仮定したこと》と《矛盾が起きたところ》ははっきりさせたほうがいいと僕は思うよ。 もっと極端に短く書くなら『背理法を使う。両辺の偶奇を考えれば明らか』とでもなるかなあ。 これはまちがいとはいえないけど、証明というよりも証明の方針っぽいね。 問題集の答えだとよく《略解》とか《略証》みたいに書かれてる」

場合分け

テトラ「はい……先輩、あたし、ちょっと違う方法がありそうって思ったんですが」

僕「この問題1で？」

テトラ「そうです。整数というのは偶数か奇数かどちらかですよね」

僕「そうだね。だからさっきも偶奇を考えたわけだし」

テトラ「ということはですよ。 $a,b,c$ のそれぞれが偶数か奇数かの《場合の数》は、全部で、ええと、 $2 \times 2 \times 2$ で $8$ 通りですよね。 そのすべてを考えるというのはどうでしょう！」

僕「お？」

テトラ「表を作ればいいですよね……こうでしょうか」

僕「それはそれでいいけど……」

テトラ「ええと、これで、 $a^2 + b^2 = c^2$ を……あれれ？」

僕「ねえ、テトラちゃん。こんなふうに $a,b,c$ すべての偶奇を考えるのはいいけれど、 結局ね《$a,b,c$ すべてが奇数というパターン》以外では、 《整数 $a,b,c$ のどれかは偶数になる》がすぐに成り立つ。 だから、ちゃんと考えなくちゃいけないのは《整数 $a,b,c$ すべてが奇数である》というパターンだけ。 《整数 $a,b,c$ すべてが奇数である》というパターンを考えたらどうなるか、 というのは、まさにさっき僕が書いた解答1や解答1aになるよね」

テトラ「あちゃちゃ……そうですね。遠回りして同じ所に来ちゃいました」

僕「うん。でも、この表はこの表でおもしろいよ。だって、さっきから考えていたのは否定を作ることだから。 《（１）整数 $a,b,c$ のどれかは偶数になる》を否定して、 《（２）整数 $a,b,c$ すべてが奇数である》を背理法の仮定にした。 テトラちゃんの表を見ると（１）が $7$ パターンあって、（２）が $1$ パターンあるということがよくわかる」

テトラ「確かにそうですね」

僕「うん。 《（２）整数 $a,b,c$ すべてが奇数である》というパターンがありえないとわかると、 残りのパターンしか起こりえない。でも、 それらはすべて《（１）整数 $a,b,c$ のどれかは偶数になる》を満たしている。 すべてのパターンが尽くされているから証明完了」

テトラ「ですね！」

ミルカさん

ミルカ「今日は整数問題？」

僕「というか、証明問題かな」

テトラ「背理法を使って証明する練習をしていたんです。 《証明したいことの否定を仮定して、矛盾を導く》」

ミルカ「ふむ。それなら、こんな問題は？」

テトラ「……」

僕「これは……ああ、なるほど？　これ、けっこうきわどい話じゃない？」

ミルカ「意味不明だな。どこがきわどい？」

僕「たとえばね……」