第219回 シーズン22 エピソード9

有限と無限のはざまで（前編）

極限値の和

テトラ「《定義にかえれ》で考えます。 先輩のアドバイス（第218回参照）にしたがって文字を使います！

$p_n \to 0$ ということは、 どんな正の数 $\EPSLN_p$ に対しても、

　　 $n > N_p$ であるすべての整数 $n$ について $\ABS{p_n} < \EPSLN_p$

という正の整数 $N_p$ が存在するということですよね。

それから、 $q_n \to 0$ ということは同じように、 どんな正の数 $\EPSLN_q$ に対しても、

　　 $n > N_q$ であるすべての整数 $n$ について $\ABS{q_n} < \EPSLN_q$

という正の整数 $N_q$ が存在する、ということになります」

僕「そうだね、その通り」

テトラ「先輩、あたし、何をすればいいかは、わかったかも……」

僕「おお」

テトラ「《求めるものは何か》を考えますと、 $$ \begin{array}{lll} n \to \infty & \REMTEXT{で} & r_n \to 0 \end{array} $$ をいうために、 $\EPSLN_r$ に対する、 $r_n$ にとっての $N_r$ を見つければいいんですね？」

僕「そういうことだね。どんな $\EPSLN_r > 0$ が与えられても、ちゃんと $N_r$ を見つければいい」

テトラ「どんな正の数 $\EPSLN_r$ に対しても、 $- \EPSLN_r$ と $\EPSLN_r$ の範囲……《帯》の中に $r_n$ がすっぽり入るように十分大きな $N_r$ を選べばいい？」

僕「そうだね」

テトラ「あのですね、まだはっきりとはわかってないんですが、 やろうとしていることを聞いていただけますか」

僕「もちろん、どうぞ」

テトラ「《与えられているものは何か》と《求めるものは何か》を考えますと、 $\EPSLN_r$ が与えられたときに、 $\EPSLN_p$ と $\EPSLN_q$ を使って、 $N_p$ と $N_q$ を利用して、 $N_r$ を求める……という流れになるんじゃないかと思いました」

僕「へえ」

テトラ「なぜそう思ったかというと、 あたしの目的は $\EPSLN_r$ から $N_r$ を見つけることです。 でもあたしの使える武器というのは、 $p_n$ と $q_n$ の極限値が $0$ であるということだけです。 ということは言い換えると、 $\EPSLN_p,\EPSLN_q,N_p,N_q$ を使うしかないということですよね。 あたしの手の中にはそれしかないから、それを使うしかないです」

僕「そうそう！　すごいなテトラちゃん。 そんなにはっきりと流れをとらえられるなんて、すごいよ！」

テトラ「き、恐縮です。 ところが、そこであたしの頭はストップしてしまいました。 文字が多くて頭の中を飛び回り始めたんです。 次の一歩がわからなくて」

僕「うんうん。文字だけを追うとそうなっちゃうかも。 ゆっくり段階を踏んで考えていこうよ。 まず、僕たちには挑戦者として $\EPSLN_r$ がやってきた」

テトラ「挑戦者？」

僕「つまり、 $\ABS{r_n} < \EPSLN_r$ という $n$ の条件を満たせるかという挑戦だね。 $\EPSLN_r$ が小さければ小さいほど厳しい条件になるから」

テトラ「ああ、そうですね。帯が狭くなりますから」

僕「僕たちは、十分大きな $n$ のすべてについて、 $\ABS{r_n} < \EPSLN_r$ の範囲に収めたい。 《十分大きな》というのはあいまいだから、 《$N_r$ という数が存在する》ことを明確にいいたい。 $n > N_r$ となるすべての $n$ について $\ABS{r_n} < \EPSLN_r$ を満たすような、 そのような $N_r$ は見つかるか？」

テトラ「はい、そこまではわかりますが……」

僕「$N_r$ が存在するということは、 最初の有限個の項は捨てられるということだね。 $n = 1, 2, 3, \ldots, N_r$ についての $r_n$ は無視できる。 捨てていい」

テトラ「はい、その感覚もわかります」

僕「ここで僕たちが使える $p_n$ と $q_n$ についても考えると、 $p_n$ も $q_n$ も最初の有限個の項を捨てさえすれば、 絶対値をいくらでも $0$ に近付けられるよね」

テトラ「はい、それもわかります」

僕「$r_n$ の定義は？」

テトラ「$r_n = p_n + q_n$ ですね。 $p_n$ と $q_n$ の両方を足したものが $r_n$ です。 具体的には、 $$ \begin{align*} r_1 &= p_1 + q_1 \\ r_2 &= p_2 + q_2 \\ r_3 &= p_3 + q_3 \\ &\,\vdots \\ \end{align*} $$ で……むむむ？」

僕「何か、ひらめいた？」

テトラ「ひらめいたわけではないのですが、 あたしたちが考えたいのは、 $$ \ABS{r_n} < \EPSLN_r $$ という不等式ですよね。 $r_n$ の定義からいえば、 $$ \ABS{p_n + q_n} < \EPSLN_r $$ を考えればいい……ってあたりまえのことでした」

僕「それ！それは大事だよね。だって、 $\ABS{p_n} < \EPSLN_p$ と $\ABS{q_n} < \EPSLN_q$ は使えるから」

テトラ「でも、 $\EPSLN_r$ と、 $\EPSLN_p, \EPSLN_q$ の関係が……わかりません」

僕「え？　いやいや、その関係付けは僕たちがするんだよ。 不正確な言い方だけど、 $\EPSLN_p, \EPSLN_q$ は何でもいいんだから、 $\EPSLN_r$ をもとにしてうまく作ってあげればいいんだ」

テトラ「ははあ……もしかして、《半分こ》すればいいのでしょうか？」

僕「半分こ？」

テトラ「$\EPSLN_r$ を二人で《半分こ》するんです。つまり、こうです。 $$ \left\{\begin{array}{llll} \EPSLN_p &= \dfrac{\EPSLN_r}{2} \\ \EPSLN_q &= \dfrac{\EPSLN_r}{2} \\ \end{array}\right. $$ これで挑戦者 $\EPSLN_r$ を二人の数列で分担させられます！　こうやってもいいということですよね？　だって、 $\EPSLN_p, \EPSLN_q$ はどんな正の数でもいいわけですから」

僕「いいよ！ どんどん進めて！」

テトラ「ええと、 $\EPSLN_p$ に対しては、 $n = 1,2,3,\ldots,N_p$ の $p_n$ を捨てちゃいます。 それから、 $\EPSLN_q$ に対しては、 $n = 1,2,3,\ldots,N_q$ の $q_n$ を捨てちゃいます。 捨てちゃいます……あ、だめですね」

僕「あれれ？」

テトラ「二つの $N_p$ と $N_q$ が出てきますが、あたしが作りたいのは $N_r$ なんです……」

僕「うわ……すごく惜しいんだけど、あと一つヒント言ったら答えになっちゃうよ。 テトラちゃん、最後の一歩は自分でゴールしたいよね？」

テトラ「もちろんですっ！　あと一歩なんですね？　考えます。ここまで考えたことは……」

• $\EPSLN_r$ が与えられて、あたしは十分大きな $N_r$ を見つけたいと思っています。
• $\EPSLN_r$ を二つに分けて、 $\EPSLN_p = \frac{\EPSLN_r}{2}$ と $\EPSLN_q = \frac{\EPSLN_r}{2}$ にします。
• そうすれば、 $n > N_p$ となるすべての $n$ について $\ABS{p_n} < \EPSLN_p$ となります。
• また、 $n > N_q$ となるすべての $n$ について $\ABS{q_n} < \EPSLN_q$ となります。

僕「……」

テトラ「それで《求めるものは何か》というと、十分大きな $N_r$ でしたから……ああ、 先輩、わかりました。あたりまえのことでした。 $N_p$ と $N_q$ のどちらか大きい方を $N_r$ にすればいいだけなんですね……」

僕「そう！　どちらか大きい方というか、小さくない方というか、ともかく、 $$ N_r = \max(N_p, N_q) $$ にするんだね。 ところで、急にテンション下がったみたいだよ、《元気少女》のテトラちゃん」

テトラ「いえいえ、すぐに気づけなかったのにがっかりしたのです……」

僕「そんなことないよ。特に $\EPSLN_r$ を二つに分けたところは発見ポイントだよね！」

テトラ「そうですね！　では、答えをまとめます！」

僕「すばらしいね！」

テトラ「ありがとうございます」

僕「細かい話だけど、テトラちゃんの証明の中で、 $$ \ABS{p_n + q_n} < \EPSLN_p + \EPSLN_q $$ はどうして成り立つかいえる？」

テトラ「えっ……だって、 $\ABS{p_n} < \EPSLN_p$ と $\ABS{q_n} < \EPSLN_q$ ですから……ああ、 そうですね。あたし、さりげなく絶対値をわけちゃってますね」

僕「そうだね。もちろん結果としては正しいんだけど、 いわゆる三角不等式を飛ばしちゃったよね。 $\ABS{x + y} \LEQ \ABS{x} + \ABS{y}$ の不等号には $=$ が含まれてる」

$$ \ABS{p_n + q_n} \LEQ \ABS{p_n} + \ABS{q_n} < \EPSLN_p + \EPSLN_q $$

テトラ「確かにそうですね……」

僕「でも、証明はよくわかるよ」

テトラ「なんだか、すごく $\EPSLN{}N$ 論法がわかったような気がします。 有限個の項を捨てちゃえばいいという感覚です」

僕「いまは収束する二つの数列の和の極限を考えたけど、同じように数列の差の極限や、積の極限や、商の極限も考えられるよ。 商のときはゼロ割りの注意がいるけど」

テトラ「なるほどです。収束する数列では、基本的な計算は極限値で考えられる……？」

僕「そういうことになるね。基本的な計算によるけど」

テトラ「たとえば、数列の平均でもそうでしょうか」

僕「ああ、もちろんそうだね。 $\frac{p_n + q_n}{2}$ のような数列を考えれば、それは実質的に和と同じだからね」

数列の平均

テトラ「……あらら？」

僕「何かおかしい？」

テトラ「いえ、二つの平均 $\frac{p_n + q_n}{2}$ というのはいいんですが、あたしは別のことを考えていたんです」

僕「別のこと」

テトラ「二つの数列の平均ではなくて…… たとえば、 $n \to \infty$ で $A_n \to 0$ という数列 $\LL A_n \RR$ があったとしますよね。 そのとき、 $$ B_n = \frac{A_1 + A_2 + \cdots + A_n}{n} $$ という数列 $\LL B_n \RR$ を考えるんです」

僕「なるほど……《最初の $n$ 項の平均》ということだね」

$$ \begin{align*} B_1 &= \frac{A_1}{1} \\ B_2 &= \frac{A_1 + A_2}{2} \\ B_3 &= \frac{A_1 + A_2 + A_3}{3} \\ &\,\vdots \\ B_n &= \frac{A_1 + A_2 + \cdots + A_n}{n} \\ &\,\vdots \\ \end{align*} $$

テトラ「はい。 $n \to \infty$ のとき、 $B_n \to 0$ になる……んでしょうか？」

僕「そりゃそうなるよね」

テトラ「ほんとうに、そうなんでしょうか……？」

僕「だってそうだよ。これは明らかだね」

テトラ「で、でも……もしかしたら $A_1$ がとても大きいかもしれませんよね。 ものすごく大きい $A_1$ があったとしても、 $A_n$ の極限を考えるときは《最初の有限個を捨てる》という必殺技が使えました」

僕「お……」

テトラ「でも、 $B_n$ はだめです。だって、 $$ B_n = \frac{A_1 + A_2 + \cdots + A_n}{n} $$ ですから、必ず $A_1$ が加味されてしまうからです。捨てられないんです。 $A_1$ は $5000$ 兆かもしれません。とてつもなく大きいかもしれません。 $B_n$ の収束を考えるとき、 どんな大きな $n$ に対しても、 $B_n$ を計算するときには、その大きな $A_1$ を使うことになってしまうんですが……」

僕「う……」

テトラ「先輩？」

僕「ごめん、ちょっと考えさせて」