第283回 シーズン29 エピソード3

音楽と数学：ピタゴラスの響き（前編）

《ピタゴラスの響き》

ユーリ「お兄ちゃん、あっちのコーナーに行ってみようよ！」

僕「走らないで大丈夫だって……今度はピタゴラス？」

ユーリ「《ピタゴラスの響き》のコーナーだって。何だろ。直角三角形作るの？」

僕「何だろう。今度は順路を守っていくことにしようね。解説パネルがあるよ」

ユーリ「《ぴたごらすおんりつ》と《ぴたごらすおんかい》」

僕「そういえば、ピタゴラスが音楽の研究をした話は聞いたことがあるなあ。 内容はよく覚えていないけど」

ユーリ「ピタゴラスの定理しか知らない」

僕「これから、 ピタゴラス音律とピタゴラス音階というものを作っていくみたいだね」

ユーリ「音階って、ドレミファソラシドでしょ？　そんなに何種類もあるの？」

僕「あるみたいだよ。ほら」

ユーリ「へー……何だかわかったよーな、わかんないよーな。ピアノがあればドレミファは決まるんじゃないの？」

僕「いや、そういうことじゃないと思う。ピアノは鍵盤があって、キーを叩けば音が出るよね」

ユーリ「楽器ですから」

僕「でもその音の高さは決まってる。決まったキーを叩けば、決まったハンマーが動いて、ピアノの中にある決まった弦を叩いて、決まった周波数の音が出る」

ユーリ「毎回違った音が出たら困るじゃん」

僕「そうなんだけど、それはもう音律ができた後なんだよ。 だって、各キーを叩いたときにどんな周波数の音が出るかが決まらなければ、 ピアノを調律できないよね。 いまやろうとしているのはピタゴラス音律を作っていくこと。 それぞれのキーを叩いたときにどんな周波数の音を出せばいいかを決めること」

ユーリ「ふんふん。ドレミファをゼロから作るってこと？」

音の名前

ユーリ「《ド》が《$C$》ってことね。あっ、体験コーナーがある」

僕「とりあえず、次のパネルを見ていこう」

完全 $1$ 度

ユーリ「同じ高さの音も考えるんだ」

僕「そうだね。完全 $1$ 度っていう名前があるって知らなかった。 $0$ 度じゃないんだね」

オクターブ

ユーリ「おくたーぶ、知ってる。これって長さを半分にしたら周波数が倍になるってことでしょ」

僕「そうだね。長さを $1/2$ にしたら、周波数は $2/1$ になる。掛け合わせると $1$ になる。要するに逆数の関係になっているんだ」

ユーリ「ねーねー、でもね、 オクターブ上げたり下げたりしても《同じ音》って感じするよね。低いドも高いドも同じ音。 ほらほら、歌が低すぎて歌いにくいとき、オクターブ上げるじゃん」

僕「ユーリは、低すぎて歌えないってことあるんだ。僕は逆が多いなあ。歌が高すぎて歌えなくてオクターブ下げる」

ユーリ「体験コーナーあるけど、さっきと同じじゃない？」

ユーリ「体験コーナーがある！　聞きたい聞きたい！」

僕「確かにきれいに響いてはいるね」

オクターブの繰り返し

ユーリ「あ、クイズがある！」

僕「これはすぐにわかるね」

ユーリ「わかる。半分にするのを繰り返すんでしょ。 長さは半分にしたら $1/2$ 倍になる。もう一回半分にしたら $1/4$ 倍になる。 だから、 $$ 1/2\COMMA 1/4\COMMA 1/8\COMMA 1/16\COMMA \ldots $$ って続くんでしょ。カンタン！」

僕「そうだけど、 $n$ 回繰り返したらどうなるかを考えたいんだから、 $1/2, 1/4, 1/8, 1/16,\ldots$ じゃなくて、 $$ 1/2^1\COMMA 1/2^2\COMMA 1/2^3\COMMA 1/2^4\COMMA \ldots $$ とした方がいいね。 弦の長さを $1/2$ にする操作を $n$ 回繰り返したら、弦の長さはもとの長さの、 $$ 1/2^n $$ になる」

ユーリ「あ、そっか」

僕「ところで、 $n$ は整数だった。 $n = 0$ のときは？」

ユーリ「$n = 0$ のとき？　《弦の長さを $1/2$ にする操作を $0$ 回繰り返す》って何もやらないことだから、 長さは変わらない。つまり $1$ 倍じゃない？」

僕「正解だね。そしてそれは、確かに $1/2^0 = 1$ とつじつまがあう。 $1/2$ にする操作を $n$ 回繰り返したら、弦の長さはもとの長さの、 $$ 1/2^n $$ になるのは、 $n = 0$ のときも含めて成り立っている」

ユーリ「たーしかに！」

僕「弦の長さが $1/2^n$ 倍になるんだから、周波数はその逆数で $2^n$ 倍になるね」

ユーリ「……ちょっと待って！　マイナスも！　《弦の長さを $1/2$ にする操作を $-1$ 回繰り返す》って、 《弦の長さを $2$ 倍にする操作を $1$ 回繰り返す》ってことじゃない？」

僕「それは正しい拡張だね。 弦の長さを $1/2^n$ 倍にすると周波数が $2^n$ 倍になるというのは、どんな整数 $n$ についても成り立っているんだね」

新しい音を求めて

ユーリ「ははーん、わかったよ！　さっきから $1/2$ にしてばっかり。だから、新しい音が作れないんだよ。 $2$ だけじゃなくて、 $3$ も使えばいい！　弦の長さを $1/3$ にすれば、別の音ができるじゃーん？」

僕「それはなかなか良さそうな案だな。パネルの続きはどこだ？」

ユーリ「あっち！」

ユーリ「聞いてみよー！」

僕「なるほど、確かに協和してるけど、ずいぶん高い音になるね」

ユーリ「周波数が $3$ 倍だから？」

僕「そうか、周波数が $3$ 倍だから、 $1$ オクターブよりも高くなっちゃうんだ」