第301回 シーズン31 エピソード1

読むための対話：三角形の重ね合わせ（前編） ただいま無料

僕「三角形の合同条件は三つあるんだよ。二つの三角形があったとして……」

• 三組の辺の長さがそれぞれ等しい。この条件は三辺相等（さんぺんそうとう）と呼ぶことがある。
• 二組の辺の長さがそれぞれ等しくて、その辺ではさまれている一つの角の大きさも等しい。この条件は二辺夾角（にへんきょうかく）と呼ぶことがある。
• 一組の辺の長さが等しくて、その辺の両端にある二組の角の大きさがそれぞれ等しい。この条件は二角夾辺（にかくきょうへん）と呼ぶことがある。

僕「……この三つだね。たった三つだから覚えるのはそれほど難しくない。でも、三つの合同条件が何を意味するか、よく理解しないと使えない。だから、まず三辺相等から詳しく話すよ」

ユーリ「ストップ！ストップ！お兄ちゃん！お兄ちゃん！早すぎ！早すぎ！」

僕「あっと！……ごめんごめん、また早すぎちゃったよね、ノナちゃん？」

ノナ「ゆっくり……ゆっくりお願いします $\NONA$」

ユーリ「まったく！　お兄ちゃん、ホントに何回言っても早口になるよね。これでもう、ワンアウトだよ」

僕「スリーアウトになると何が起きるんだろう」

ユーリ「チェンジじゃん」

ノナ「$\NONA$」

僕「うん、じゃあ、ゆっくり行くよ。今日は三角形の合同条件の話」

ノナ「はい $\NONA$」

僕「……どうかな？　話を先に進めても大丈夫？」

ユーリ「だいじょぶだよ。三角形の合同条件っしょ？」

ノナ「さんかっけいの……ごうどうじょうけん $\NONAQ$」

僕「そうだね。三角形の合同条件の話をしようとしている。三角形はわかるよね？」

ノナ「知ってる……知ってます $\NONA$」

僕「そうそう。それが三角形。三つのまっすぐな辺で囲まれた図形だね。三つの角があるから三角形」

ノナ「合同条件はわからない……わかりません $\NONA$」

僕「うん、これから話をするから、いまはわからなくても大丈夫。 合同条件というのは、二つの三角形はどういうときに合同といえるのか……それを表す条件のことだよ。 ノナちゃんは三角形の合同はわかる？」

ユーリ「ごうどう」

ノナ「ごうどうは、知ってる……知ってます $\NONA$」

僕「じゃあね、『二つの三角形が合同である』ということを説明してみて」

ノナ「わからない……わかりません $\NONA$」

ユーリ「ノナ、こないだわかってたじゃん！」

ノナ「わかんなくなったんだもん $\NONA$」

僕「うん、大丈夫だよ。ノナちゃんは、うまく説明できないと思ってるんじゃない？　完全に正しい答えを言えなくてもいいんだよ。 まちがってもいいし、何となくでもいいよ。『二つの三角形が合同である』とはどういうことだと思う？　教えてほしいな、ノナちゃん」

ノナ「おんなじ……三角形が同じ $\NONAQ$」

僕「うん、そうだね。合同というのは、ある意味では、二つの三角形が同じということ。 でも、三角形が同じというだけじゃ不正確。 ノナちゃんは、だいたいのことはわかっているみたいだから、少しずつ正確にしていこう。 具体例があった方が話しやすいかな」

具体例（１）

僕「たとえば、ノナちゃんは、この二つの三角形を合同だと思う？」

ノナ「ちがう……ちがいます $\NONA$」

僕「そうだね。ノナちゃんのいう通りだよ。 この二つの三角形は合同じゃない」

僕「この二つの三角形は合同じゃない、でも面積は等しいんだ。 この三角形二つは、面積が等しいという意味では《おんなじ》だけど、でも、合同とはいえない」

具体例（２）

僕「じゃあ、ノナちゃんは、この二つの三角形は合同だと思う？」

ノナ「ちがう……ちがいます $\NONA$」

僕「ノナちゃんの言う通り。この三角形は合同じゃない。合同じゃないけど、二つの三角形の三組の角の大きさは、それぞれ等しい」

ユーリ「左の三角形をぐーっと大きくすると右のになるみたい」

僕「そうだね」

僕「……三組の角の大きさがそれぞれ等しいという意味では、この二つの三角形は《おんなじ》だけど、合同じゃない」

合同の定義

僕「具体例（１）や（２）でわかるように、二つの三角形が《おんなじ》というだけだと、意味がはっきりしない。 面積のことを言ってるのか、三つの角の大きさのことを言ってるのか、それとも別のことを言ってるのかわからないから。そうだよね？」

ノナ「『同じ』だと、合同じゃないかも……合同にならないかも $\NONAQ$」

僕「うん、そうだね。 単に《おんなじ》というだけだと、合同を意味したことになるかもしれないし、ならないかもしれない。 それだとちゃんと話を進めることは難しい」

僕「でもノナちゃんは、具体例（１）や、具体例（２）で、二つの三角形が合同じゃないとわかった。 ということは、ノナちゃんは『二つの三角形が合同である』というのが、 どういうことなのか、きっと知っているんだよね、うまく説明はできなくても」

ノナ「習った……習いました $\NONA$」

僕「なるほど。 三角形の合同は学校で習ったんだ」

ノナ「ぴったり重なるの……重なります $\NONA$」

僕「そうだね！　そんなふうに、二つの三角形をぴったりと重ねることができるとき、 その『二つの三角形は合同である』と呼ぶことにするんだ」

ユーリ「えー、でもお兄ちゃん。《ぴったりと重ねることができる》って、 それって数学になんの？　もっと、こー、厳密な話じゃないの？」

僕「確かに《ぴったりと重ねる》というのは、ずいぶん僕たちの感覚を頼りにしている言い方だと思うよ。 でも僕たちは《ぴったりと重ねる》というのが何を意味しているかよくわかっている。 厳密に合同とは何かを追求するのもいいけれど、まずは先に進もう」

ユーリ「ふむふむ、よかろー。話を進めたまえ」

僕「ユーリ、えらそうだな」

ノナ「ユーちゃん、えらそう $\NONA$」

具体例（３）

僕「ノナちゃんは、この二つの三角形は合同だと思う？」

ノナ「合同です $\NONAEX$」

僕「そうだね。正解だよ！」

僕「この二つの三角形は、合同だよ。そしてこの二つの三角形は、面積も等しい。三組の角の大きさも、それぞれ等しい。それから、三組の辺の長さもそれぞれ等しいね」

ノナ「合同……合同です $\NONA$」

僕「そうだね。ところでこの二つの三角形はどうして合同だと言えるの？ そう言える理由は何だろうか」

ノナ「同じだから……違う。『同じ』じゃない $\NONA$」

ユーリ「ぴったりと重ねることができるから、でしょ？」

僕「そうだね。ノナちゃんが言うように、この二つの三角形は合同だよ。それはまちがいじゃない。 そして、どうしてこの二つの三角形が合同だといえるのか。 その理由は、ユーリがいうように、この二つの三角形を《ぴったりと重ねる》ことができるから」

ノナ「難しい……難しいです $\NONA$」

理由を尋ねる

僕「わかったような、わからないような感じがするかもしれないから、順を追って整理するね」

• （ア）僕たちは《ぴったりと重ねる》ことができるとき、二つの三角形は《合同》であると呼ぶことにした。僕たちは合同という言葉を定義したんだね。
• （イ）具体例（３）に描かれた二つの三角形は、ぴったりと重ねることができる。
• （ウ）だから、この二つの三角形は合同であるといえる。

僕「さっき僕は『どうしてこの二つの三角形が合同といえるか』と尋ねたよね。 そのときは、この（イ）を尋ねていたんだ」

ノナ「$\NONA$」

僕「僕たちの目の前には具体的な三角形がある。そして『この三角形は合同だ！』 と言うためには、理由が必要になる。『ナントカだから、合同だ』や『合同といえるのは、ナントカだから』という言い方になる……大丈夫？」

ノナ「聞いてる……聞いています $\NONA$」

僕「そこでカギになるのは、定義だよ。僕たちは『二つの三角形が合同である』ということを、 『二つの三角形をぴったりと重ねることができる』ことだと定義したよね」

僕「この二つの三角形はぴったりと重ねることができる。だから、合同だといえることになる」

ノナ「理由は定義……定義ですか $\NONAQ$」

僕「理由を聞かれたなら、いつも定義を答えればいいかという意味かな？　いや、そうとは限らないよ。 定義を答えればいいときもあるし、もっと別のことを答えることもある。 でも、定義を答えたり、定義にしたがって答えたりする場合はとても多いね」

僕「理由を聞かれるというのは、説明のどこかに大きな省略があるときなんだよ。 『あれあれ？　話が飛んでるよ！　それじゃわからない。説明の途中が抜けてるぞ』ってこと、ない？」

ノナ「いっつも……いつもです $\NONAEX$」

僕「数学では説明をするときに、理由を聞かれることがよくあるよ。 それは説明の途中で話が飛んだときや、話が飛んでないことを確かめたいとき」

ユーリ「お兄ちゃん、よく理由を聞くよね」

僕「そうだね。『ここに描かれた二つの三角形が合同といえるのはどうして？』と僕が聞いたのは、 ノナちゃんは合同の定義をちゃんとわかっているかな、と思ったからだよ。 理解を確かめたかったんだ」

ノナ「..kw.と..k.りms $\NONA$」

僕「え？　何？　ごめん、よく聞こえなかった」

ノナ「恐いとき……あります $\NONA$」

僕「何が恐いの？」

ノナ「『どうして』$\NONA$」

僕「『どうして？』や『なぜ？』と聞かれるのが恐いときがあるってことかな」

ノナ「ときどき $\NONA$」

僕「うん……キツい言い方で『どうして？』と聞いてくる人はときどきいる。それから『なぜ？』を、責めるみたいに言う人もいる」

ノナ「はい $\NONA$」

僕「でも、数学では違うよ。 数学で『どうして？』というのは理由を尋ねる言葉なんだ。 だから、ノナちゃんを責めているわけじゃない」

ユーリ「そーだよー」

ノナ「だいじょうぶ……大丈夫です $\NONA$」

合同を確かめよう

僕「じゃあ、話を戻すよ。この二つの三角形は合同といえる。それはなぜかというと、 この二つの三角形はぴったりと重ね合わせることができるから」

ユーリ「ねーねー、ちゃんと重ねて確かめよーよ！」

僕「ああ、そうだね。ユーリの主張は正しい。ちゃんと重ねて確かめよう。 ぴったりと重ねることができるなら、その二つの三角形は合同であるといえる。 どうやってもぴったりと重ねられないなら、その二つの三角形は合同であるとはいえない」

ユーリ「ハサミで切るんでしょ？」

僕「そうだね。ハサミで三角形を切り出してみようか」

ノナ「トレースでもいい……いいですか $\NONAQ$」

ユーリ「トレース？」

↓

↓

↓

僕「うん、重ねられるね」

ノナ「ぴったり……だいたいぴったり重なります $\NONA$」

ノナ「裏返しても $\NONAQ$」

ユーリ「ねーお兄ちゃん。裏返ししても合同だよね？」

僕「うん、そうだね。二つの三角形があって、そのままではぴったり重ならないとしても、 片方を裏返してぴったり重ねられるならば、その二つの三角形は合同であるといえるよ」

僕「いま僕たちがやったみたいに、二つの三角形を、回したり、動かしたり、裏返したりして《ぴったりと重ねる》ことができるとき、 二つの三角形は合同であるという。 でも、重ねるときに破ったり伸ばしたり縮めたりしてはだめ。 さっきは《ぴったりと重ねる》だけで済ませてしまったけれど、 ほんとうはそういうふうに補足説明が必要だったね」

ユーリ「ゆるしたげても、いいぞよ」

ノナ「いいぞよ $\NONA$」

僕「はいはい……いまは、紙を透かして重ねてみた。具体的な三角形を使うと、合同がどういうものかよくわかるね」

ユーリ「お兄ちゃんの描いた三角形、あちこち線が震えてるけどねー」

僕「そうだね。紙に描いた三角形は辺がちょっと曲がっていたり、太かったりするし、 重ねるときでもちょっとずれるかもしれない。 《現実の世界》にある三角形だから、しょうがない」

ノナ「でも $\NONAEX$」

ノナ「でも、《数学の世界》は目に見えなくても大丈夫……想像できるから、大丈夫です $\NONA$」

僕「おっと！　その通りだね！　ノナちゃん、いいこと言うね！」

僕「ノナちゃんの言う通り、見えなくても大丈夫だね。 僕たちは便宜上、《現実の世界》の三角形を描いて考えるけれど、 僕たちが本当に考えているのは、《数学の世界》にある三角形なんだ。 目に見えている具体的な三角形だけじゃなくて、 描かれていない三角形についても考えているし、巨大過ぎて描けない三角形についても考えている。 無数の三角形をまとめて考えることもできる。 僕たちが三角形という図形を《現実の世界》で描くとき、それはあくまで手がかりに過ぎない。 その図形で何が成り立っているのか、何が成り立っていないのかを確かめるのが大事。 だから、図形の問題は、論理の問題でもあるんだ。成り立っていることから、別の成り立っていることを導いていく。 あるいは、これが成り立つためには、何が成り立っていなくてはならないかを考える。 理由を探す。定義を確かめる。そうやって、論理的なギャップがないように……いま、早口になってた？」

ユーリ「なってた。アウト」

僕「アウトだったかあ！」

ノナ「アウト……ツーアウトです $\NONA$」

ユーリ「何の話だっけ？」

僕「二つの三角形をぴったりと重ねることができるとき、二つの三角形は合同だという……って話だね。 ところで、三角形には三つの辺と、三つの角がある。 二つの三角形をぴったりと重ねると、辺と辺、角と角もまた、ぴったり重なることになる」

僕「一つの三角形に辺は三つあるし、角も三つある。三角形が二つになったら、辺も角も個数が倍になる。 たくさんあるとややこしくなるし、まちがいやすくなる。 数学では、いろんなものごとをはっきりさせて話を進めたい。 じゃあ、どうすればいいと思う？」

ノナ「$\NONAQ$」

ユーリ「簡単じゃん！」