第318回 シーズン32 エピソード8

ふれあう三角関数：タンジェントと踊ろう（後編）

$\tan$ の和と積

ミルカ「こんな《広がる証明》もある。つまり複素平面を使う」

テトラ「この問題に、複素数が出てくる……？」

複素平面を使って考える

ミルカ「さっき、 $\tan$ の加法定理を複素平面を使って考えた（第317回参照）。それと同じように考える」

テトラ「複素数で《積の偏角は、偏角の和》になる、それをまた使うんですか？」

僕「僕もそれはちらっと思ったよ。ただ……加法定理では $\tan(\alpha + \beta)$ の中に和が出てきたけれど、この問題の式、 $$ \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C $$ には角度の和は出てきていないからなあ」

テトラ「$\tan A + \tan B + \tan C$ は $\tan(A + B + C)$ とは違いますよね……」

僕「違うね。それに $A + B + C = \pi$ なんだから、 $$ \tan (A + B + C) = \tan \pi = 0 $$ だよ。関係式というよりも値が出てきてしまう」

テトラ「ああ、タンジェントの値が決まってしまうんですね」

ミルカ「それが、のちのち効いてくる」

テトラ「はい？」

ミルカ「ともかく、三個の複素数 $z_1,z_2,z_3$ を次のように定めよう」

$$ \begin{align*} z_1 &= 1 + i\tan A \\ z_2 &= 1 + i\tan B \\ z_3 &= 1 + i\tan C \end{align*} $$

僕「これは加法定理のときと同じだね。二個じゃなくて三個になったけど。偏角がそれぞれ $A,B,C$ になっている複素数」

テトラ「そうですね。また積を取るんですか」

ミルカ「そうだ。そして何が出てくるかを観察する」

$$ \begin{align*} z_1z_2z_3 &= (1 + i\tan A)(1 + i\tan B)(1 + i\tan C) \\ &= \bigl((1 - \tan A\tan B) + i(\tan A + \tan B)\bigr)(1 + i\tan C) \\ \end{align*} $$

僕「ああ、そうか。 $(1 + i\tan A)(1 + i\tan B)$ はさっき計算したからすぐにわかるんだね（第317回参照）」

テトラ「《いち引くタンタン、タン足すタン》ですね」

$$ (1 + i\tan A)(1 + i\tan B) = (\underbrace{1 - \tan A \tan B}_{\REMTEXT{いち引くタンタン}}) + i (\underbrace{\tan A + \tan B}_{\REMTEXT{タン足すタン}}) $$

ミルカ「計算を続ける。ただの展開だ」

$$ \begin{align*} z_1z_2z_3 &= \cdots \\ &= \bigl((1 - \tan A\tan B) + i(\tan A + \tan B)\bigr)(1 + i\tan C) \\ &= (1 - \tan A\tan B) + i(\tan A + \tan B) \\ & \qquad + i\bigl((1 - \tan A\tan B) + i(\tan A + \tan B)\bigr)\tan C \\ &= (1 - \tan A\tan B) + i(\tan A + \tan B) \\ & \qquad + i(1 - \tan A\tan B)\tan C - (\tan A + \tan B)\tan C \\ &= (1 - \tan A\tan B) + i(\tan A + \tan B) \\ & \qquad + i\tan C - i\tan A\tan B\tan C - \tan A\tan C - \tan B\tan C \\ &= 1 - \tan A\tan B + i\tan A + i\tan B \\ & \qquad + i\tan C - i\tan A\tan B\tan C - \tan A\tan C - \tan B\tan C \\ &= (1 - \tan A\tan B - \tan A\tan C - \tan B\tan C) \\ & \qquad + i(\tan A + \tan B + \tan C - \tan A\tan B\tan C) \\ \end{align*} $$

僕「なるほど！　これはおもしろいな！」

テトラ「これが……？」

$$ \begin{align*} z_1z_2z_3 &= (1 - \tan A\tan B - \tan A\tan C - \tan B\tan C) \\ & \qquad + i(\tan A + \tan B + \tan C - \tan A\tan B\tan C) \\ \end{align*} $$

ミルカ「私たちがやったことはこれだ」

• 三角形の内角に対する $\tan$ を考え、
• それに関わりのある三個の複素数 $z_1,z_2,z_3$ を定め、
• 積を計算した。

僕「ゴール直前だね」

ミルカ「そう。ここから私たちが求める式の証明までは、ほんの一歩だ」

テトラ「あ、あたしにとっても？」

ミルカ「恐らくは」

テトラ「先輩方っ！　ここからはヒント無用です。テトラ、考えます……」

ミルカ「……」

僕「……」

テトラ「……た、たぶんわかりました」

僕「どうぞ、どうぞ」

テトラ「$\tan$ の加法定理のときと同じに考えます。つまり、 $$ z_1z_2z_3 = a + ib $$ という複素数になったとします。 $a,b$ は実数です」

僕「うん」

テトラ「そうして、 $z_1z_2z_3$ の偏角を……たとえば $\theta$ としますと、 $$ \tan\theta = \frac{b}{a} $$ になります」

僕「$a = 0$ にならなければ、そうだね」

テトラ「え、ええと……たぶん $a \neq 0$ だと思うんですが……」

ミルカ「まずはテトラの話を聞こう」

僕「あ、そうだね。ごめん」

テトラ「いったん $a \neq 0$ として話を進めます……」

ミルカ「とてもおもしろい」

僕「複素平面を利用した《広がる証明》だね！」

テトラ「おもしろいですねえ……ペタンと着地！　あっ、それから確かに $a \neq 0$ です。なぜなら、もしも $a = 0$ だとしたら、 $a = b = 0$ ということで $z_1z_2z_3 = 0$ になってしまいますから」

僕「そうだね。 $z_1 \neq 0, z_2 \neq 0, z_3 \neq 0$ だから積は $0$ にならない」

証明を振り返る

ミルカ「この証明は、一つのものを《二つの視点》で見ているところがおもしろい」

テトラ「《二つの視点》……といいますと？」

僕「複素数を《実部と虚部》で見る視点と《絶対値と偏角》で見る視点だよね？」

ミルカ「そう」

僕「$z_1z_2z_3$ を展開するときでは最終的に、 $$ z_1z_2z_3 = a + ib $$ のように $a,b$ という《実部と虚部》に分けたことになる。成分を計算したんだね」

テトラ「そうですね」

僕「複素数の偏角を考えるときというのは、 $$ z_1z_2z_3 = r(\cos\theta + i\sin\theta) $$ のように、 $r,\theta$ という《絶対値と偏角》に分けたことになるよね。 $r$ は絶対値、 $\theta$ は偏角。極形式だ」

テトラ「ああ、そうですね！　そうなりますね！　確かに複素数を《二つの視点》から見ています。……で、でも、どうしてそれで証明ができたのでしょう。あっ、待ってください。これは《結果を一目でとらえられるか》ですね」

僕「うん、そうだね。《二つの視点》から見たときの鍵はどこにあったんだろう」

テトラ「結局、一つのものを《二つの視点》で見るというのは、この等式が成り立つときです」

$$ a + ib = r(\cos\theta + i\sin\theta) $$

僕「うんうん。積を計算したときに、 $$ b = \tan A + \tan B + \tan C - \tan A\tan B\tan C $$ という僕たちが証明したい式の形が出てきた。僕たちが示したいのは $b = 0$ だけど……」

ミルカ「しかし、どうしたら $b = 0$ が示せるのか、すぐにはわからない」

テトラ「《三角形の内角の和》という条件を使えば、 $\theta = A + B + C$ から $b = 0$ が示せる！　ペタンと着地ですっ！」

ミルカ「それは、 $$ \sin\theta = \sin(A + B + C) = \sin\pi = 0 $$ といってるわけだ」

僕「そうだね。計算すれば《実部と虚部》の視点で見ることができて、 《絶対値と偏角》の視点で見ることによってそのうちの虚部の値が求められた。 それが僕たちの示したかったこと！」

※複素平面を使ったこの証明は、栗田哲也『難関大入試数学・発展していく三角関数』（東京出版）を参考にしています。

積分

テトラ「《三角関数》の計算練習をしていたと思ったら、いつのまにか《複素数》のお話になっていました。楽しいですね！」

ミルカ「それなら今度は《積分》の話をしよう」

僕「なるほど、確かに三角関数はここにも出てくるね」

テトラ「えっ、何がですか？　そんなに一瞬でわかるものなんですか？　あたしには、さっぱり……」

僕「いやいや、これは有名な問題だから、積分をならうときの例題で出てくるんだよ。だから、一瞬でわからなくても大丈夫。何回か練習していると、自然に覚えちゃう」

テトラ「へえ……」

ミルカ「テトラは定積分はわかっている？」

テトラ「か、簡単なものなら……たとえば、これによく似た積分でこれならわかります」

$$ \int_1^2 \frac{1}{x^2} dx = \REMTEXT{?} $$

ミルカ「ふむ」