第8回 シーズン1 エピソード8

すなおな反比例（後編）

比例と反比例

ユーリ「えー、納得いかなーい！」

僕「どうして？　比例と反比例のグラフはこれでいいんだよ」

ユーリ「だってさ、ぜーんぜん違う形じゃん！　比例は右上がりの直線で、反比例は右下がりの直線のほうがすっきりする」

僕「すっきりするって言われても……わかった。じゃあね、どうして反比例のグラフがこんな形をしているかを説明しよう。 そうすればユーリもきっと納得すると思うよ」

ユーリ「比例が右上がりで増えていって、反比例が右下がりで減っていくなら、なんかちょうどいーじゃん！」

僕「ユーリがちょうどいいように感じても、反比例の定義（ていぎ）からはそういうグラフの形にはならないんだよ」

ユーリ「じゃ、反比例の定義はどーゆーの？」

僕「反比例の定義の前に、比例の定義を復習しておこう。まずは比例。それから反比例」

ユーリ「わかったよ、お兄ちゃん。比例の定義……厳密な意味だね」

僕「そうそう」

ユーリ「で？　反比例の定義は？」

僕「反比例の定義はこうなる」

ユーリ「……」

僕「反比例の定義、どう？　意味わかる？」

ユーリ「わかるよ。定数 $a$ があって、 $y$ が $\frac{a}{x}$ ってことでしょ？」

僕「そうそう。それが反比例だね。《$y$ は $x$ に反比例する》は《$x$ と $y$ は反比例の関係にある》ということもあるよ」

ユーリ「あんましピンと来ない」

僕「そう？　比例は $y = ax$ で、反比例は $y = \frac{a}{x}$ だから、式の形がぜんぜんちがうだろ？　反比例の式の特徴は《$x$ が分数の分母に来てる》ってことだね」

ユーリ「まー、式はそーなんだけど……」

僕「何が気になってるの？」

ユーリ「うーん。うまくいえない」

僕「そう。じゃ、少し反比例について話してみよう。反比例のグラフはこんな形になるよ。双曲線（そうきょくせん）という名前がついてる」

ユーリ「……」

僕「《比例のグラフ》は《原点を通る直線》になるけれど、《反比例のグラフ》は《双曲線》になる。式の形がまったく違うから、グラフの形もまったく違うね」

ユーリ「あ！」

僕「ユーリ、どうした？」

ユーリ「そこがね、納得いかないんだよー。グラフの形がぜんぜん違うのに、反対なの？」

僕「反対って……あ、そうか。そこが気になってたんだね」

ユーリ「比例が右上がりで、反比例が右下がりっていうのはまちがいなんでしょ？」

僕「うん、まちがいだね。 原点を通る直線のグラフが右上がりでも右下がりでも、どちらも比例のグラフだよ」

ユーリ「右上がりと右下がりだとちょうど反対っぽいなーって思ったんだけど」

僕「いやいや、ユーリ。雰囲気だけで考えちゃだめだよ。 $y = ax$ という式で、右上がりなら $a > 0$ で、右下がりなら $a < 0$ となる。 つまり、右上がりか右下がりかの違いは、定数 $a$ がプラスかマイナスかの違いなんだ。 $y = ax$ という比例の式はそのまま」

ユーリ「プラスとマイナス……そーゆー種類の反対かー」

僕「うん。ユーリが目を付けた《右上がり》と《右下がり》の違いは《$a > 0$》と《$a < 0$》に対応してたんだね。 その二つは、 $x$ が増えたときに《$y$ が増える》と《$y$ が減る》にちょうど対応している」

ユーリ「うーん、そっか……」

僕「それでね、反比例はまったく違う式の形 $y = \frac{a}{x}$ で定義される」

ユーリ「それそれ！　反対というより、ぜーんぜん違うじゃん！」

僕「確かにそうだね」

ユーリ「そーだよ！　直線と……なんとか曲線」

僕「双曲線」

ユーリ「グラフの形が、直線と双曲線みたいにぜーんぜん違う形なのに」

僕「じゃあね、《式の形》を少し変えてながめてみよう。おもしろいことがわかるよ。うまく《反対》が見つかるから」

ユーリ「へ？　《反対》が見つかるって、どゆこと？」

式の形を変えてみる

僕「まずは、比例の式から。いまはちょっと $x \neq 0$ としておく」

$$ \begin{array}{rcll} y &=& ax & \qquad \REMTEXT{比例の式} \\ y \div x &=& a & \qquad \REMTEXT{両辺を$x$で割った（$x \neq 0$を仮定）} \\ \end{array} $$

ユーリ「これがどーしたの？　 $y$ を $x$ で割っただけじゃん」

僕「比例の式から $y \div x = a$ という式がでる。この式をじっと見るとわかることがあるよ」

ユーリ「じー」

僕「なにか、わかった？」

ユーリ「なんにも、わかんない」

僕「そう？　 $y \div x = a$ で、 $a$ は定数だったよね。 だから、《$y$ が $x$ に比例する》とき《$y \div x$ はいつも一定（いってい）》だということがわかる」

ユーリ「一定ってゆーのは《変わらない》ってことだよね……それだけ？」

僕「そう。ユーリは《それだけ？》っていうけどさ、それってすごいことなんだよ。 $x$ と $y$ は変化する量なのに、《$x$ と $y$ は勝手に変化できない》っていってるんだから」

ユーリ「勝手に変化できない……？」

僕「つまり、 $y \div x$ がいつも一定の値 $a$ になってなくちゃいけないという制約（せいやく）……シバリがあるわけだ」

ユーリ「シバリ？」

僕「そう。縛（しば）られている。動けるんだけど、勝手には動けない。完全に自由には動けない」

ユーリ「ふーん」

僕「《$y$ が $x$ に比例する》というとき《$y \div x$ はいつも一定》になってなくちゃいけない。 そういうシバリがあるのが比例」

ユーリ「ま、そー言えないこともないか。シバリね……」

僕「そして今度は反比例だよ」

ユーリ「お？　そっか、そっちが問題なんだった」

僕「同じように反比例の式を少し変形させてみよう。反比例の式は覚えてる？」