[logo] Web連載「数学ガールの秘密ノート」
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第71回 シーズン8 エピソード1
大きな数(前編) ただいま無料

ダイニングで

ここはの家のダイニング。 ユーリはテレビを見ていた。 科学番組で映画"Powers of Ten"が紹介されている。 この十分足らずの映画では、最初に $1$ メートル四方しほうの日常風景が写される。 そして、次第にカメラがその風景から遠ざかり、 十秒ごとに一辺の長さが $10$ 倍になっていくのだ。

ユーリ「……はふー。すごかったねー!」

「すごかったな……これが1977年の映画っていうのもすごいなあ」

ユーリ「これって、十秒ごとに $10$ 倍になってるんだよね」

「そうだね。映画の前半は、画面の一辺が十秒ごとに《$10$ 倍》になっていた。 後半になると逆に画面の一辺が十秒ごとに《$10$ 分の $1$》だったね」

ユーリ「宇宙がぐんぐん見えて、すごかったー」

「うん、すごいよね。十秒ごとに《$10$ 倍》になるってことは、 $1$ の後に十秒ごとに $0$ をつけていくわけだね」

ユーリ「最初、ピクニックしてたよね」

「そうだったね。人間のサイズから、 $0$ を$7$個つけただけで地球全体くらいのサイズになるんだ」

ユーリ「$1$ の後に $0$ が$7$個って、何メートルになるの? いち、じゅう、ひゃく、せん……」

「一千万メートルだね。一万キロだ」

ユーリ「へー」

「$1$ の後に $0$ が$11$個つくと、太陽が画面に入ってきてた」

ユーリ「ちょっと待ってお兄ちゃん、なんでそんなの覚えてんの?」

「映画の右のほうに数字が出てたじゃないか。太陽が画面に入ってきたときは $10^{11}$ になってたよ」

ユーリ「いやいや、そんなの覚えてらんないって、ふつー」

「銀河系全体は $10^{21}$ メートル四方だったかな」

ユーリ「あのね、途中でめちゃ感動したのがね、 太陽系が星になったり、銀河系が星になったりするとこ」

「うん?」

ユーリ「ほらほら! 太陽系がどんどんちっちゃくなってたじゃん!」

「ああ……太陽系も、銀河系も、じゅうぶん離れると一つの星みたいだったってこと?」

ユーリ「そーそー! それと、逆に小さい方も宇宙みたい!」

「あれだろ? 原子の世界の中に入っていったとき。 小さい世界を見てるはずなのに、何だか宇宙を見てるみたいだったよね」

ユーリ「それからね、宇宙で、星が《集まってる》のもおもしろかった」

「集まっているって? 太陽系のこと?」

ユーリ「うん。たとえば太陽系は星が集まってるじゃん? でもしばらくすると今度は何にもない宇宙になって、 そんで、次は太陽系が集まった銀河系になって……でもまた何もない宇宙になる。 そーゆー《繰り返し》がおもしろかった!」

ゼロの数

「銀河系全体が画面に入ったのは、 $10^{21}$ メートル四方だった」

ユーリ「$10$ の$21 $乗って、$ 1$の後にゼロが $21$ 個続くんだよね?」

「そうだね。 $1,000,000,000,000,000,000,000$ メートルだ」

ユーリ「ふえー」

「$1000$ メートルはキロメートルだから、 わかりやすくいうと $1,000,000,000,000,000,000$ キロメートルだね」

ユーリ「いや、それ、ぜんぜんわかりやすくなってないから」

「あはは、そうだね。指数しすうを使って表現したほうがいいか。 《銀河系の直径》がおおよそ $10^{21}$ メートルだとすると、 $10^{18}$キロメートルになる」

$$ \begin{align*} \text{《銀河系の直径》} &= 1000000000000000000000\text{メートル} \\ &= 10^{21}\text{メートル} \\ &= 10^{18}\text{キロメートル} \\ \end{align*} $$

ユーリ「え? お兄ちゃん、いまどんな計算したの。 $21$ 乗から $18$ 乗」

「うん?  $21$ から $3$ 引いたら $18$ だよ」

ユーリ「そんなのわかってる。何で $3$ 引いたの?」

「だって、 $1$ キロメートルは $1000$ メートル、つまり $10^3$ メートルだから、 $3$ 引けばいい」

$$ \begin{align*} 10^{21}\text{メートル} &= 1\underbrace{000000000000000000000}_{\text{$21$個}}\text{メートル} \\ &= (1\underbrace{000000000000000000}_{\text{$18$個}} \times 1\underbrace{000}_{\text{$3$個}})\text{メートル} \\ &= 1\underbrace{000000000000000000}_{\text{$18$個}}\text{キロメートル} \\ &= 10^{18}\text{キロメートル} \\ \end{align*} $$

ユーリ「あー、そかそか。あたりまえじゃん」

「うん、これはちょうど指数法則しすうほうそくの一例になっているよね」

ユーリ「しすーほーそく、って何だっけ」

「うん、たとえばこういうの。《全体の掛け算》は《指数の足し算》で計算できる」

指数法則の例(全体の掛け算は指数の足し算)

$$ \begin{align*} 1\underbrace{000000000000000000}_{\text{$18$個}} \times 1\underbrace{000}_{\text{$3$個}} &= 1\underbrace{000000000000000000000}_{\text{$18+3 = 21$個}} \\ 10^{18} \times 10^{3} &= 10^{18+3} \\ \end{align*} $$

ユーリ「ふんふん。《$10$ の$18 $乗》と《$ 10 $の$ 3$乗》を掛けると、 《$10$ の$21$乗》になるってことだね」

「そうそう。その $21$ という数は、 $18+3$ で求める。 これを《一般化》すると……」

ユーリ「ほらきた!」

「『ほらきた』って?」

ユーリ「ねえ知ってた? お兄ちゃんって、数学の話するとき必ず『一般化すると』って言い出すんだよー!」

「え、必ずってことはないと思うけどな」

ユーリ「いーや、違うね。必ずだね」

「まあ、だって、数学では《一般化》はとても大事だからしょうがないよ」

ユーリ「はいはい。では続けたまえ(にやにや)」

指数法則

「$10^{18} \times 10^{3} = 10^{18 + 3}$ を一般化すると、こんなふうに書ける」

指数法則(全体の掛け算は指数の足し算)

$$ 10^{m} \times 10^{n} = 10^{m + n} $$

※ここで $m$ と$n $は$ 1$以上の整数($1,2,3,\ldots$)とする。

ユーリ「ふんふん」

「さっきは $m = 18$ で$n = 3$の例を話していたんだね」

ユーリ「そーだね」

「簡単な例を見るとすぐに意味はわかるよ」

ユーリ「もーわかったから、いーよ」

「そう? たとえば、 $m = 2$ で$n = 3$とすると」

ユーリ「わかったって」

「$m = 2$ で$n = 3$とすると、こうなって、確かにこの指数法則は成り立っている」

$$ \begin{align*} 10^{2} \times 10^{3} & = 100 \times 1000 \\ & = 100000 \\ & = 10^{5} \\ & = 10^{2+3} \\ \end{align*} $$

ユーリ「お兄ちゃん……ユーリが『わかっている』って言ってるのに、 最後まで説明し切るんだね……」

「説明を途中で止めるって苦しいんだよ」

ユーリ「掛け算したら《ゼロの個数》が足し算になるなんて、わかってるもん」

「ところでユーリ。さっき $10^m \times 10^n = 10^{m+n}$ を話したとき、 ※ここで $m$ と$n $は$ 1$以上の整数($1,2,3,\ldots$)とするって条件つけたの、 なぜだか、わかる?

指数法則(全体の掛け算は指数の足し算)

$$ 10^{m} \times 10^{n} = 10^{m + n} $$

※ここで $m$ と$n $は$ 1$以上の整数($1,2,3,\ldots$)とする。←コレ

ユーリ「え……そーいえば、なんで?」

「この条件をつけておけば、指数法則はこんなふうにして示せるからだよ」

指数法則が成り立つことを示す

$m $と$ n$は $1$ 以上の整数($1,2,3,\ldots$)とする。

このとき《$10$ を何個掛けるか》を考えて次の式が得られる。

$$ \underbrace{10 \times \cdots \times 10}_{\text{$m$個の$10$}} \times \underbrace{10 \times \cdots \times 10}_{\text{$n$個の$10$}} = \underbrace{10 \times 10 \times \cdots \times 10}_{\text{$m+n$個の$10$}} $$

このことから、 $$ 10^{m} \times 10^{n} = 10^{m + n} $$

が成り立つことがわかる。

ユーリ「ねー、これって《$10$ を何個掛けるか考えればいい》って意味でしょ?」

「そうだよ。《何個》っていうからには $1$ 以上の整数($1,2,3,\ldots$)でなくちゃまずいから、 だからああいう条件を付けたんだ」

ユーリ「わざわざまわりくどく言ってるみたい」

「そんなことないよ。それでね、いまは指数を《$1$ 以上の整数》で考えたよね」

ユーリ「うん」

「で、これを《$0$ 以上の整数》に拡張して考えよう」

ユーリ「えーと?」

「$10^0$ ($10$のゼロ乗)を考えるってことだよ」

ユーリ「$10^0$ って $1$ でしょ? お兄ちゃん、こないだ言ってたじゃん」

$10$ の$0 $乗は$ 1$に等しい

$$ 10^0 = 1 $$

「うん、そうだよ。 $10^0$ は$1$に等しいと定義されている」

ユーリ「てーぎ……」

「そう。ここが大事なところだよ、ユーリ。 $10^0$ を定義して、指数法則を拡張しているんだ」

ユーリ「うわあ……なにそれ」

「つまり、こういうことだよ。 $m$ と$n $が$ 1$以上の整数ならば、それがどんな整数でも $10^m \times 10^n = 10^{m+n}$ は成り立つ」

ユーリ「それ、さっきやった」

「うん。そこでね、いま $10^0$ のあたい定義したいんだけど、 どんな値として定義するのがいいかを考えたいんだ」

ユーリ「だって、 $10^0$ は$1$って決まっているんでしょ?」

「そうだよ。でもそう決めたことには理由がある。 $10^0 = 1$と定義するのが《うまい定義》だからなんだ」

ユーリ「うまい定義?」

「そう。《$m$ や$n $が$ 0$になるときでも、指数法則がちゃあんと成り立つ》という意味で、うまい定義」

ユーリ「ほほー……なるほど、わかんない」

「がく。じゃ、具体的に話そう。いま、 $m$ と$n $が$ 0$以上の整数として、指数法則が成り立っているとしよう」

ユーリ「うん」

「だとすると、こういう式が成り立ってなくちゃいけない。指数法則で $m = 0,n = 1$ としたんだよ」

$$ \begin{align*} 10^m \times 10^n &= 10^{m+n} && \text{指数法則} \\ 10^0 \times 10^1 &= 10^{0+1} && \text{$m = 0, n = 1$とした} \\ 10^0 \times 10 &= 10 && \text{$10^1 = 10$で$10^{0+1} = 10$だから} \\ 10^0 &= 1 && \text{両辺を$10$で割った} \\ \end{align*} $$

ユーリ「ほほー」

「これ、何をやったかわかる?」

ユーリ「うん、わかる。 $10^0$ を求めたんでしょ」

「そう。だから、指数法則を満たすためには、 $10^0 = 1$ と定義しなければならなかったんだ」

ユーリ「……」

「じゃ、次に」

ユーリ「ちょっと待って、お兄ちゃん。ユーリのアンテナがぴぴっと……お兄ちゃんの説明、何だか変な気がする」

「え、いや、そんなことないと思うけどな。 $1$以上の整数で指数法則が成り立っているとき、 $0 $以上の整数で成り立つように拡張したいなら、$ 10^0 = 1$と定義する必要がある」

ユーリ「えーとね、それはいーんだけど……ごめん、ちょっと待って。考える」

ユーリはちょっと目を細めるようにして思考モードに入った。 髪の毛が金色に一瞬輝いたかと思うと、にやっと笑った。

「で?」

ユーリ「やっぱ変だよ。お兄ちゃんは指数法則で $m = 0, n = 1$ として、 だから $10^0 = 1$ じゃなきゃだめだって言ったよね」

「うん、そういったよ」

ユーリ「でも指数法則が成り立つのを確かめたのは、 $m = 0, n = 1$ のときだけだよね?  $m$ と$n $が$ 0$以上の整数のとき、 絶対にいつでも指数法則は成り立つの?」

「おっと、そういうこと? ……確かに、さっきのお兄ちゃんの説明は少しまずかったな。 あれだと《指数法則が成り立つならば、 $10^0 = 1$ が成り立つ》しか言ってない。 逆に《$10^0 = 1$ が成り立つならば、指数法則は成り立つ》も言わなきゃまずいな。 まあ、でもそれはすぐに確かめられると思うけど」

ユーリ「そーなのか……」

整数へ

「ところで、さっき指数法則を $0$ 以上に拡張したけど、整数全体に拡張するのも簡単だよ。 "Powers of Ten"の映画にも出てきてたけど」

ユーリ「映画に? 何が?」

「ほら、後半で《小さな数》を表すところで、 $10^{-1}$ や$10^{-2}$が出てきたじゃないか」

ユーリ「あー、《$10$ のマイナス乗》のこと?」

「そうそう。ユーリは《$10^{-1}$ メートル》ってどれだけの長さか知ってる?」

ユーリ「えーとねー、なんだっけ……《$10$ 分の $1$ メートル》だっけ」

「そうだね。正解。《$10^{-1}$ メートル》は《$10$ 分の $1$ メートル》に等しい」

$$ 10^{-1} = \dfrac{1}{10} $$

ユーリ「あれだよね。 $10^{-2}$ だと $\dfrac{1}{100}$ なんだよね」

「そうだね。ユーリ、よく知ってるな」

ユーリ「前に一回教えてくれたじゃない、お兄ちゃん。忘れたの?」

「そうだったかな……これも、指数法則を拡張するという形で定義されるんだ」

ユーリ「$10^{-1}$ も?」

「そう。 $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, 10^{-4}, \ldots$ 全部だね」

ユーリ「ふーん」

「たとえば、 $10^{-1}$ の値が何になるかを考えてみよう。 もちろん $\dfrac{1}{10}$ なんだけど、どうしてその値でなくちゃいけないかを考えるってことだよ」

ユーリ「ふんふん」

「指数法則が《すべての整数 $m$ と$n$で成り立つ》ためには、 $10^{-1}$はどんな値にならなくてはいけないかを考えたい。 いいかげんな値として定義しちゃったら、指数法則が成り立たなくなる。 それはいやだから、適切な値として定義したいということ」

ユーリ「……」

「どうした、ユーリ」

ユーリ「えっと、指数法則を成り立たせるための値を探すってこと?」

「そうだね」

ユーリ「ふーん」

「さっき $10^0$ の値を決めたときと同じように考えることになる。 今度は指数法則で $m = -1$ と$n = 1$を入れてみよう。 もしも指数法則をすべての整数 $m$ と$n$で成り立たせたいなら、 こうなるはず」

$$ \begin{align*} 10^m \times 10^n &= 10^{m+n} && \text{指数法則} \\ 10^{-1} \times 10^1 &= 10^{(-1)+1} && \text{$m = -1, n = 1$とした} \\ 10^{-1} \times 10 &= 10^{0} && \text{$10^1 = 10$で$10^{(-1)+1} = 10^0$だから} \\ 10^{-1} \times 10 &= 1 && \text{$10^0 = 1$だから} \\ 10^{-1} &= \dfrac{1}{10} && \text{両辺を$10$で割った} \\ \end{align*} $$

ユーリ「ほほー!」

「ね? さっき $10^0$ を定義したときと同じように、 今度は $10^{-1}$ は$\dfrac{1}{10}$として定義するのがいいってことがわかる」

ユーリ「そーだね。ちゃんとあってた」

「$10^{-1} = \dfrac{1}{10}$ と決まったら、 $10^{-2}$ も決まるよ。やっぱり指数法則を使う。 すべての整数で指数法則が成り立っているとしたら、 $10^{-2}$ は何になるかが自動的に決まるんだ。 $m $と$ n$は何にしたらいいと思う?」

ユーリ「$10^{-2}$ を求めるんだよね……そりゃ、 $m = -1$ で$n = -1$じゃないの?」

「やってみよう」

$$ \begin{align*} 10^m \times 10^n &= 10^{m+n} && \text{指数法則} \\ 10^{-1} \times 10^{-1} &= 10^{(-1)+(-1)} && \text{$m = -1, n = -1$とした} \\ \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} &= 10^{(-1)+(-1)} && \text{$10^{-1} = \dfrac{1}{10}$だから} \\ \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} &= 10^{-2} && \text{$10^{(-1)+(-1)} = 10^{-2}$だから} \\ \dfrac{1}{100} &= 10^{-2} && \text{$\dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{100}$だから} \\ 10^{-2} &= \dfrac{1}{100} && \text{両辺を交換した} \\ \end{align*} $$

ユーリ「ねーお兄ちゃん。これって《繰り返す》ことができるよね」

「そうだね。 $10^{-1} $で$ 10^{-2}$を作ったのと同じように、 $10^{-1} $と$ 10^{-2} $で$ 10^{-3}$が作れる。 それを繰り返していけば……」

$$ \begin{align*} 10^{0} &= 1 \\ 10^{-1} &= \dfrac{1}{10} \\ 10^{-2} &= 10^{-1} \times 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{100} \\ 10^{-3} &= 10^{-1} \times 10^{-2} = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{100} = \dfrac{1}{1000} \\ 10^{-4} &= 10^{-1} \times 10^{-3} = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{1000} = \dfrac{1}{10000} \\ 10^{-5} &= 10^{-1} \times 10^{-4} = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10000} = \dfrac{1}{100000} \\ &\vdots \\ \end{align*} $$

「そして、これを……」

ユーリ「《一般化》するんでしょ?」

「あ!」

ユーリ「ほらきた! ね、必ず言うじゃん?」

「確かに……ともかく、一般化するとこうなる。 $n$ を$0 $以上の整数($ 0,1,2,3,\ldots$)とする」

$$ \begin{align*} 10^{0} &= 1 \\ 10^{-1} &= \dfrac{1}{10^1} = \dfrac{1}{10} \\ 10^{-2} &= \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} \\ 10^{-3} &= \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1000} \\ 10^{-4} &= \dfrac{1}{10^4} = \dfrac{1}{10000} \\ 10^{-5} &= \dfrac{1}{10^5} = \dfrac{1}{100000} \\ &\vdots \\ 10^{-n} &= \dfrac{1}{10^n} = \dfrac{1}{1\underbrace{000\cdots0}_{\text{$n$個}}} \\ \end{align*} $$

ユーリ「おっけー」

《$10$ の$-n$乗》

$$ 10^{-n} = \dfrac{1}{10^n} = \dfrac{1}{1\underbrace{000\cdots0}_{\text{$n$個}}} $$

※ただし、 $n$ を$0 $以上の整数($ 0,1,2,3,\ldots$)とする。

大きな数を作る

ユーリ「お兄ちゃん。さっき、銀河系って直径どのくらいって言ったっけ」

「$10^{21}$ メートルって言ってたね」

$$ 10^{21}\text{メートル} = 1000000000000000000000\text{メートル} \qquad \text{(銀河系全体の直径)} $$

ユーリ「こんなんだと、もう大きいんだか小さいんだかわかんないよね」

「いやいや、すごく大きいと思うよ」

ユーリ「そーだけどさ」

「《指数を使った数の表現》がすごいのは、 $1000000000000000000000$なんていうすごく大きな数を、 $10^{21}$のように短くまとめて書けるところにあるよね」

ユーリ「短くまとめても、同じ数なんでしょ?」

「うん。でもね、たくさんある $0$ の数をいちいち数えなくても、 $10^{21} $を見ればゼロが$ 21$個あるってわかるじゃないか」

ユーリ「? あたりまえじゃん?」

「たとえば、次の二つの数はどっちが大きい?」

どちらが大きいか?

$$ 1000000000000000000000 \qquad 10000000000000000000000 $$

ユーリ「うわひどい問題! 目がちらちらしてわかんないよ」

「だよね。確かにひどい問題だ。でもこれならどう?」

どちらが大きいか?(指数を使った表現)

$$ 10^{21} \qquad 10^{22} $$

ユーリ「おー、なるほど。そりゃ $10^{21}$ より $10^{22}$ のほうが大きいよ」

「ね、だから、すごく《大きな数》を扱うときには、 《指数を使った表現》はとても便利だってことがわかるだろ」

ユーリ「それはそーみたいだけど……ひっかかるにゃ」

「何が?」

ユーリ「確かに、 $1000000000000000000000$ みたいに $0$ が《繰り返し》出てくるような数だったら、 $10^{21}$って短く書けるからいいけど、そんな数ばっかりじゃないじゃん!」

「うん、それはそうか。ユーリの言うのも正しいな。 $10^{21}$は$\underbrace{10 \times 10 \times \cdots \times 10}_{\text{$10$が$21$個}}$という形をしているから、 大きな数でも短く表せると」

ユーリ「そゆこと。何かを繰り返して作った数ならいーんだけど……あ!」

「なに?」

ユーリ「あのねお兄ちゃん。ユーリ、おもしろいこと思いついた!」

「?」

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(第71回終わり)

(2014年4月11日)

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結城浩(ゆうき・ひろし) @hyuki


『数学ガール』作者。 結城メルマガWeb連載を毎週書いてます。 文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。2014年日本数学会出版賞受賞。

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