第86回 シーズン9 エピソード6

ギザギザフレーク（後編）

図書室にて

僕「こんな感じでどうだろう。まずはコッホ曲線を表現してみる」

テトラ「$K_n\,K_n^+\,K_n^-\,K_n$ っていうのは……ははあ、なるほど！ $K_n$ と $K_n^+$ と $K_n^-$ と $K_n$ を並べたということですね？」

僕「そうそう！　うん、これはいいよ。まるで《漸化式》みたいにコッホ曲線が表現できる！」

テトラ「おもしろいです！　ヒルベルト曲線も同じようにできるんでしょうか」

僕「うん、きっとできるよ。やってみよう！」

テトラ「あたしも考えます！」

僕「まず、こうだよね。さっきのコッホ曲線（第85回参照）では、 $60$ 度の回転がポイントだったけど、ヒルベルト曲線では $90$ 度の回転が出てくる」

テトラ「はい、そうですね。右にコトン、左にコトンの二種類あります」

僕「だから、《レベル $n$ のヒルベルト曲線》を $H_n$ で表すとして、 それを《$90$ 度右回転》したものを $H_n^-$ と書いて、 《$90$ 度左回転》したものを $H_n^+$ と書くことにしよう」

テトラ「三つの《つなぎ目》もありました」

僕「そうだね。垂直方向のつなぎ目を $v$ として、水平方向のつなぎ目を $h$ とすればいいかなあ」

テトラ「なるほどです。 $v$ はvertical（バーティカル）、 $h$ はhorizontal（ホリゾンタル）ですねっ！」

僕「そうそう。あとはそれを順番に並べて……と」

テトラ「右回転（$H_n^-$）、垂直つなぎ目（$v$）、そのまま（$H_n$）、水平つなぎ目（$h$）、 そのまま（$H_n$）、垂直つなぎ目（$v$）、左回転（$H_n^+$）……確かにそうなりますね」

僕「まあ、でも、こうやって書いてみると《あたりまえ》に見えてくるね」

テトラ「先輩！　でも《あたりまえから始めるのはいいこと》なんですよね？」

僕「そうだね！」

テトラ「では、《漸化式》の形にまとめますっ！」

僕「うんうん」

テトラ「あれ？　先輩の書き方ですと、 $h$ は $v^+$ と表現してもいいですよね？」

僕「おっと、そうだね！」

L-システム

ミルカ「フラクタル？」

テトラ「そうなんです！　コッホ曲線とヒルベルト曲線の構造を書こうとしているんです」

ミルカ「この記法は、君が？」

僕「うん、そうだよ。最初は図を描いていたんだけど、 何だか数式っぽく書けるんじゃないかと思って。 レベルを $n$ で表せば、ちょうど《漸化式》もどきに書けたんだ」

ミルカ「L-システムに似ている」

僕「エルシステム？」

ミルカ「Lindenmayer System, 略してL-システムという。 文字列を書き換えることでフラクタルのような再帰的構造（さいきてきこうぞう）を記述する方法」

僕「へえ」

テトラ「再帰的構造というのは何でしょう」

ミルカ「ある構造が、その構造自身によって定義される構造の総称。 フラクタルは、再帰的構造を持った図形といえる」

テトラ「では、フラクタル＝再帰的構造ということでしょうか」

ミルカ「いや、そうではない。再帰的構造は図形にかぎらないから」

僕「そのL-システムというのはどういうもの？」

ミルカ「たとえばコッホ曲線なら、こんなふうに表現できる」

僕「開始文字列と変換ルール……」

ミルカ「開始文字列から始める。最初はＦだ。ここでは《線分を描いて進む》に相当する」

僕「なるほど。これはレベル1のコッホ曲線だね」

ミルカ「次がポイント。文字列を変換ルールの通りに置き換える。 変換ルールがＦ → Ｆ＋Ｆ−−Ｆ＋Ｆだから、ＦをＦ＋Ｆ−−Ｆ＋Ｆで置き換える。 結局Ｆ＋Ｆ−−Ｆ＋Ｆになるだけだが」

僕「そうか、Ｆ＋Ｆ−−Ｆ＋Ｆに従って《図形を描く》のかな？」

ミルカ「その通り」

テトラ「これって、先輩の $K_2 = K_1\,K_1^+\,K_1^-\,K_1$ と同じではないんですか？」

僕「少し違うよ、テトラちゃん。僕の書き方だと図形を用意して並べただけだけど、 L-システムだと全部図形を《描いて》いくんだ」

テトラ「……よくわかりません」

ミルカ「棒を持って砂浜に図形を描くのに似ている」

テトラ「？」

ミルカ「テトラは棒を持って砂浜に立っている。手には Ｆ＋Ｆ−−Ｆ＋Ｆ と書かれた紙を持っている。 テトラはそれを読みながら砂浜を歩く。棒を砂の上に引きずりながら」

テトラ「ははあ……すると砂浜に図形が描かれますね」

ミルカ「『Ｆ』を読んだら前に進む。すると線分が描かれる。『＋』を読んだら左 $60$ 度に身体の向きを変える。 『−』を読んだら……」

テトラ「右 $60$ 度に身体の向きを変える？」

ミルカ「そう。そして、『Ｆ＋Ｆ−−Ｆ＋Ｆ』を読み終えたところで砂浜を振り返ると、そこには……」

テトラ「レベル2のコッホ曲線が描かれている！」

ミルカ「ということになる」

僕「なるほどねえ。レベル3も同じようにできるんだね。 『Ｆ＋Ｆ−−Ｆ＋Ｆ』の『Ｆ』を、全部『Ｆ＋Ｆ−−Ｆ＋Ｆ』で置き換えればいいのか！」

テトラ「そ、それってものすごく長くなりませんか？」

ミルカ「こうなる」

テトラ「うわわ……」

僕「レベル2のところをカッコでくくるとよくわかるね」

テトラ「ははあ……『Ｆ＋Ｆ−−Ｆ＋Ｆ』の『Ｆ』を『Ｆ＋Ｆ−−Ｆ＋Ｆ』で置き換えている……」

僕「《全体が部分と相似になっている図形》というフラクタルがうまく表現できるわけか」

ミルカ「このような変換ルールの反復は、 君の《漸化式》でいえば、 $K_3$ を $K_1$ だけで表現するのに似ている」

僕「なるほど。僕の書き方だと、図形をまとめてそれを回転するためにカッコが必要になるなあ」

テトラ「ミルカさん！　ヒルベルト曲線もL-システムで表現できるんでしょうか？」

ミルカ「もちろん」