第96回 シーズン10 エピソード6

領域の利用、一気に（後編）

僕「では、これを踏まえて」

ユーリ「踏まえて？」

僕「この問題はわかる？」

ユーリ「むむ？ ……これって同じじゃないの？」

僕「同じって？」

ユーリ「ほら、その顔だよ！」

僕「？？」

ユーリ「『引っかかったな』みたいな顔。そーゆーの、やな感じ」

僕「ごめんごめん。そういうつもりはないんだけどね。……同じって？」

ユーリ「$y > \dfrac{1}{x}$ の範囲は描いたじゃん？　 $xy > 1$ も同じじゃない？」

僕「どうしてそう思ったの？」

ユーリ「ゼロ割り関係ないから」

僕「？　ユーリ……話、飛んでない？」

ユーリ「だってね、 $y > \dfrac{1}{x}$ のときって、 $x \NEQ 0$ じゃん？　分数出てきてるから」

僕「そうだね。確かにここでは $x \NEQ 0$ だよ」

ユーリ「そんで、それを踏まえて $xy > 1$ を考えるってことは、ゼロに注意するんでしょ？　分数なくなってるもん。 でもね、 $x = 0$ のときって、 $xy > 1$ は満たさないから関係ない。 だから、結局、 $y > \dfrac{1}{x}$ と $xy > 1$ は同じ」

僕「なるほど。よくわかったよ。ユーリはなかなか鋭いな。 ユーリの言う通り、『分数が出てきたらゼロ割りに注意』というのは正しいよ。 $y > \dfrac{1}{x}$ という式があったら、暗黙のうちに $x \NEQ 0$ が仮定されてる」

ユーリ「アンモクのウチ？」

僕「式として $x \NEQ 0$ が書かれていなくても、という意味。 $\dfrac{1}{x}$ のような分数が出てきたら、すぐそばに 『ただし、 $x \NEQ 0$ である』という条件が添えてあると考えなくちゃいけない。 でも $xy > 1$ には分数は出てきてないから、そんな条件は付いてない」

ユーリ「そー！　だから、おんなじ」

僕「等式だったらそれでいいんだけど、これは不等式だから……」

ユーリ「あーっと！　マイナスは逆かあ！」

僕「わかった？」

ユーリ「$x$ がプラスのときは、 $xy > 1$ は $y > \dfrac{1}{x}$ と同じだけど、 $x$ がマイナスのときは、 $y < \dfrac{1}{x}$ と同じだね。逆だった！」

僕「そうそう。そうなるね。 $x$ がマイナス、つまり $x < 0$ のときは、 $xy > 1$ の両辺を $x$ で割ると不等号の向きが反転して $y < \dfrac{1}{x}$ になる。とても間違いやすいところだね」

ユーリ「じゃあ、 $xy > 1$ はこーなるの？」

僕「そうだね、それで正解」

ユーリ「やたっ！」

場合分け

僕「$xy > 1$ の領域を求めるのに、 $x$ の正負について《場合分け》をして考えたことになるね。 $x > 0$ か、 $x = 0$ か、 $x < 0$ かという場合分け」

ユーリ「うん。これってあたりまえだよ。だって、 $x$ と $y$ がマイナスですごく小さいとき、 $xy$ はすごく大きくなるでしょ？　 $x = -100$ と $y = -100$ だったら、 $xy = 10000$ で、 $1$ よりもずっと大きくなる。だから、左下の方はずっと $xy > 1$ になってるはず」

僕「そう！　それはとてもいい確かめ方だね！」

ユーリ「ねーお兄ちゃん。逆にして、 $xy < 1$ の領域って、内側？」

僕「内側だよ。そして $xy < 1$ だと、ゼロ割りの心配がないから、 $y$ 軸もちゃんと含む」

ユーリ「にゃるほど」

僕「実数 $x$ が出てきたら、 $x > 0$ と $x = 0$ と $x < 0$ で場合分けをするというのは、 よくあることだよ」

ユーリ「プラスと、ゼロと、マイナス」

僕「そうそう。実数は必ずその三種類のどれかになるから、 $x > 0$ と $x = 0$ と $x < 0$ で場合分けをすれば漏れがないんだ」

ユーリ「ふんふん。バシッと決まる」

僕「さっき描いた円の領域でも、 似たような話がいえる（第95回参照）。 座標平面上のどんな点でも必ず、 《円の外部》と《円周上》と《円の内部》の三種類のどこかになるよね」

ユーリ「そりゃそーだね。逃れられない」

僕「$x^2 + y^2 = r^2$ という円を考えると……」

論理の問題

僕「そうだ、おもしろい問題を思いついたぞ。ユーリが好きそうな話」

ユーリ「なになに？」

僕「こういうのはどうだろう」

ユーリ「おお？」

僕「これはね」

ユーリ「待ってよ！　考えるから！」

僕「どうかな？」

ユーリ「わかった！　正しい！」

僕「そう？　どうしてそういえる？」

ユーリ「この問題って、 《$x^2 + y^2 < r^2$ ならば、 $-r < x < r$》 をいうんでしょ？」

僕「そうだね、もしもこの主張が正しいなら」

ユーリ「うん、正しいもん。何でかっていうとね、 $x$ はそんなに大きくも小さくもなれないから」

僕「ほう？」

ユーリ「$y^2$ って必ず $0$ 以上じゃん？　そして、 $x^2 + y^2 < r^2$ だったら、 $x^2$ に $0$ 以上の数を足したのに、 まだ $r^2$ より小さいってこと。だから、 $x$ は $-r$ から $r$ の間に入ってなきゃだめだもん」

僕「うん、いいね。考え方はそれでとてもいい」

ユーリ「なんか引っかかる言い方」

僕「考え方はいいけど、それでユーリが好きな《バシッと決まる》感じがするかな」

ユーリ「答え方が悪いってこと？」

僕「ユーリの答えを順序立てて述べればいいだけだよ」

ユーリ「ふんふん」

ユーリ「ユーリの答えと同じに見える……」

僕「でね、ここで領域を描いてみよう！」

ユーリ「へ？」

僕「つまり、こういう問題」

ユーリ「領域 $A$ は……円の内部だよね」

僕「そう。原点中心で半径 $r$ の円の内部だね」

ユーリ「領域 $B$ は、 $-r$ から $r$ まで？」

僕「まあまあ、図を描こうよ」

ユーリ「それで？　これが？」

僕「この図をよく見ると、領域 $A$ は、領域 $B$ にすべて含まれていることがわかるよね？」

ユーリ「そーだね。円の内部は帯の中に入ってるってことでしょ？」

僕「ということはだ、領域 $A$ に入っているどんな点 $(x,y)$ を選んだとしても、 その点は領域 $B$ にも入っているといえるわけだ。これで問題6の主張が正しいといえた」

ユーリ「なーるほど！」

僕「わかる？」

ユーリ「わかるわかる！　『$x^2 + y^2 < r^2$ ならば $-r < x < r$ である』といえるんでしょ？」

僕「そうだね。 《不等式を使った論理の問題》が、 《領域を使った幾何の問題》に移されているんだよ」

ユーリ「なーるほど。あっ、だったらさー、同じことを $y$ でもいえるよね」

僕「いえるね。《$x^2 + y^2 < r^2$ ならば、 $-r < y < r$ である》といえる」

ユーリ「うんうん。……ねー、お兄ちゃん。これって、反対にしてもいいの？」

僕「反対って？」

ユーリ「てきとーに図を描いて、不等式を使った論理の問題にしちゃうの」

僕「ああ、いいね。 たとえば、こういう図からは、どんな問題が作れると思う？」