第137回 シーズン14 エピソード7

式の形・グラフの形（前編）

図書室にて

僕「どうしたの、テトラちゃん」

テトラ「あ、先輩！　いえ、特に何でもありません。先日教えていただいた積分のお話を何となく思い出していただけです」

僕「ミルカさんが教えてくれたディリクレの関数、おもしろかったね（第136回参照）」

テトラ「そうですねえ……あたしはまだよくわかっていないのですけど」

僕「そうだ、このカード。村木先生からもらってきたよ」

テトラ「え、あたしに、ですか？」

僕「うん、そうだよ。積分の問題」

テトラ「これは……積分の問題ですね」

僕「そうだね。不定積分の問題だ。これはテトラちゃんも解けるよね」

テトラ「え、あ、はい。たぶん……こうでしょうか」

僕「……」

テトラ「ですから、積分……不定積分の答えは $\frac{3}{2}x^2$ ですね？」

僕「……積分定数は？」

テトラ「あ！　すみません。そうでした。不定積分のときは積分定数がいるんでした。ということは、 $$ \int (x + x + x) \,dx = \frac{3}{2}x^2 + C \qquad \REMTEXT{（$C$は積分定数）} $$ ですね」

僕「そうだね。《検算》もしようね」

テトラ「検算……ああ、微分するんでした！」

テトラ「はい、確かに $3x$ つまり $x + x + x$ にもどりました！」

僕「うん、いいね。積分の問題はめんどうな計算になることがあるから、 早い段階でさっと《検算》をしておくといいんだよ。 計算の最終段階になってからまちがいに気付いたら悲惨だからね」

テトラ「なるほどです……ところで、 どうして村木先生は $x + x + x$ なんていう問題にしたんでしょう」

僕「最初から $3x$ と書けばいいのに……ってこと？」

テトラ「はい、そうです。一目で $x + x + x = 3x$ ってわかりますよね」

僕「うん、それはテトラちゃんが式に慣れているからだね。 たとえば、中学一年生のころ、文字を使った式の変形に慣れていなかったら、 『一目で $x + x + x = 3x$』はわからないよね」

テトラ「あ、それはそうですけど」

僕「僕の想像だけど、村木先生は《和の積分》を見せてるんだと思うな」

テトラ「和の積分？」

僕「そう。《和の積分は、積分の和》だね」

和の積分は、積分の和

テトラ「……」

僕「何を言ってるか、わかるよね。二つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ とがあって……」

テトラ「はい、わかります。二つの関数の《和》は $f(x) + g(x)$ です。 それを積分したものが $\int \left(\,f(x) + g(x)\,\right) \,dx$ ということですね。だからこれが《和の積分》」

僕「そうそう」

テトラ「それから、この等式の右辺は $\int f(x) \,dx$ と $\int g(x) \,dx$ という二つの積分を合わせた《積分の和》です」

僕「うん、そうだね。だから、この等式がいつも成り立つというのは《和の積分は、積分の和》と表現できることになる」

テトラ「この《和のナントカは、ナントカの和》ってよく出てきますね」

僕「そうだね。線型性ということ。線型性の一部だけど」

テトラ「線型性？」

僕「たとえば、微分もそうだったよね。《和の微分は、微分の和》だった。 それから、確率のときに出てきた期待値も。《和の期待値は、期待値の和》」

テトラ「はいはい、そうでしたそうでした」

僕「そうだね」

テトラ「あの、つまらない質問かもしれませんけど……」

僕「なに？　テトラちゃんがそういってつまらない質問だったこと、ないよね！」

テトラ「え、いえ、あのですね。たとえばこの《和のナントカは、ナントカの和》というのは、 スローガンとしてはわかるんですが、どうしてこれが大事なんでしょうか」

僕「おお！」

テトラ「はい。今回も、村木先生のカードが $x + x + x$ のように《和》を強調していました。 どうしてなんでしょう」

僕「うん、そうだね。どうしてなのか……僕もうまくいえないけど、こうじゃないかな。 《基本的なものは何か》に注目しているんだと思うよ」

テトラ「基本的なもの？　和が基本的なんでしょうか」

僕「というより、和を構成しているひとつひとつのものが基本的なのかな、と思ったんだ。 $x + x + x$ だと単純すぎてよくわからないけどね」

テトラ「？」

僕「たとえば、いろいろ数学のことを考えていて $f(x) + g(x)$ の不定積分を求めることになったとするよね。 そのとき、 $f(x) + g(x)$ が、《 $f(x)$ と $g(x)$ の和になってるぞ！ 》と見抜くことができるなら、 $f(x)$ と $g(x)$ のそれぞれの不定積分を求めればいい、ということになるよね。 だから《和の積分は、積分の和》というのが大事になるんだよ」

テトラ「和を作る一つ一つを攻略すれば、全体も攻め落とすことができるということなんでしょうか……」

僕「攻略……まあ、そうだね。ほら、期待値のときもそうだったよね。 確率変数が和の形になっていることを見抜いて、それぞれの期待値を計算する。 もっと積極的に、和の形になるように計算を進めるというのもよくある話。 微分も積分も期待値も、線型性を持っているものは、和を見抜いたり、和を作ったりすることで、 取り扱いが楽になるんだね」

テトラ「わかりました！」

和の問題

僕「そうだ、テトラちゃんはこの問題を解ける？」

テトラ「ええと……これはちょっと難しいです。どうするんでしょうか。何か公式が」

僕「うん、公式のようなものはあるんだけど《和の積分は、積分の和》をよく考えると、方針はすぐにわかる。 つまり、《和》を作るということだね」

テトラ「和を作る……ああ、展開すればできるんですね！　まず、 $(x^2 + x + 1)(2x + 1)$ を展開します」

テトラ「ですから、 $\int (x^2 + x + 1)(2x + 1) \,dx$ を求めるには、 $\int (2x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \,dx$ を求めればよくて……これは和に分解すればできます！」

$$ \begin{align*} & \int (2x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \,dx \\ &= \int 2x^3 \,dx + \int 3x^2 \,dx + \int 3x \,dx + \int 1 \,dx \\ &= \frac{2x^4}{4} + \frac{3x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + \REMTEXT{あれれ？} \\ \end{align*} $$

テトラ「あれれ？　 $\int 1 \,dx$ というのはどうすればいいんでしょう？」