第159回 シーズン16 エピソード9

かぎりなく、あなたのそばに（前編）

テトラちゃんの《もやもや》

僕「テトラちゃん、今日も熱心だね」

テトラ「あっ、先輩！　いえ、あの、 やっぱりあたしは、どうも考える力が低いようです」

僕「そんなことないよ！　テトラちゃんはいつもしっかり考えるじゃないか。 誰よりも粘り強いし、それになかなか納得しない」

テトラ「ありがとうございます。でも、あたしが納得しないのは、 頭が問題についていけてないからで……」

僕「どんな問題を解いているの？」

テトラ「いえいえ、何か問題を解いているわけではなくてですね、 ミルカさんのお話を思い出して、《もやもや》しているだけで……」

僕「まあ、ミルカさんは難しい話もぽんぽんと出してくるから」

テトラ「そうなんですが、あたしが気になるのは、 本来ならあたしが《わかるべき話》なんじゃないか、と思うときなんです」

僕「どういうこと？」

テトラ「つまりですね。お話ししている内容がとっても難しくて高度なときには、 『うわわわ』とは思いますが、『もやもや』とは思いません。 でも、とても簡単そうに見えるけれど、あたしにはよくわからないとき、 そんなときに《もやもや》するんです」

僕「いまのテトラちゃんの話で、僕が《もやもや》しているけど……具体的には、 ミルカさんのどんな話のことだろう」

テトラ「あっ、そうですよね。 あたしが気になっているのは、《デデキントの切断》の話です」

僕「ああ、そんなおしゃべりしたよね（第156回参照）」

テトラ「はい……そして《有理数全体の集合》の切断 $(A,B)$ を考えて、 その切断一つを《実数》とみなすことができる。そういうお話でした」

僕「そうだね。ええと、そうそう、集合 $A$ の最大値 $\max A$ と、集合 $B$ の最小値 $\min B$ が存在するかどうかを考えたんだった」

テトラ「そうです。あたしはノートに整理しました」

僕「テトラちゃんの《秘密ノート》登場だね。白丸と白丸……？」

テトラ「あたしのイメージはこうなんです」

僕「なるほど、なるほど。確かに白丸だね。 なんだ、テトラちゃんはすごくよくわかっているよ。僕よりもちゃんと整理してわかっている」

テトラ「ちがうんです。問題はここからです。あたしはこの（ケース4）で『はてな？』と思いました」

僕「……」

テトラ「たとえば、 $(A,B)$ という切断で $\sqrt{2}$ という無理数を表せるというんですよね？」

僕「そうだよ。《$\sqrt{2}$ よりも小さな有理数全体の集合》を $A$ として、 《$\sqrt{2}$ よりも大きな有理数全体の集合》を $B$ とすればいいよね。 そうすれば、僕たちの手元には有理数しかないのに、 $(A,B)$ は $\sqrt{2}$ という無理数を指し示していることになる。おもしろいよねえ」

テトラ「ほんとうにそうなんでしょうか？」

僕「というと？」

テトラ「いま、あたしたちは有理数しか知らないんですよね。 それなのに、《$\sqrt{2}$ よりも小さな有理数全体の集合》を $A$ として、 《$\sqrt{2}$ よりも大きな有理数全体の集合》を $B$ とすればいい……というのは、 おかしいんじゃないでしょうか。だって、知らないはずの無理数の $\sqrt{2}$ を持ち出してきています！」

僕「ああ、それは言葉の綾というか、話を先取りしているだけで、 実際には《$\sqrt{2}$ よりも小さな有理数全体の集合》を $A$ とするわけじゃなくて、 《有理数を $2$ 乗したときの値》を使うんだよ。そうすれば $\sqrt{2}$ という無理数は表には出てこない」

テトラ「あ！　確かに、そうすればいいですね！　ということは、 $A$ は、 《$2$ 乗したら $2$ よりも小さくなる有理数全体の集合》と定義すればいいんですね！」

僕「惜しいけど、条件が抜けているよ、テトラちゃん。 負の数のことを忘れている。 $A$ は、《$0$ よりも小さいか、 $2$ 乗したら $2$ よりも小さくなる有理数全体の集合》だね」

テトラ「あちゃあ……そうですね。 と、ともかく、そこまでは理解しました。 $\sqrt{2}$ という無理数を持ち出さなくても大丈夫と」

僕「うん。それに、実数は $\sqrt{2}$ のように、方程式の解として得られる数とは限らないから、 $1.41421356\cdots$ のように無限に続く数字列で考えた方がいいかもしれないけどね。 これで、テトラちゃんの《もやもや》は解決したの？」

テトラ「はい！　一つ目の《もやもや》については！」

僕「おっと、まだあるんだ」

二つ目の《もやもや》

テトラ「《有理数全体の集合》を切断して実数を作るというお話の中で、 $\max A$ と $\min B$ のどちらも存在しないときが無理数に対応していましたよね」

僕「そうだね。テトラちゃんのノートでは（ケース4）と書いていた」

テトラ「でも、ほんとうにこれで実数が決まるんでしょうか」

僕「うん、決まると思うけど。テトラちゃんは何を気にしているの？」

テトラ「あたしが気にしているのは……あのですね、 （ケース4）の切断で決まる無理数が《唯一》である保証はどこにあるのかということです」

僕「おお！」

テトラ「はい。（ケース4）の切断で有理数以外の何かを決められるのはわかります。 少なくとも有理数は決めていません。 でも、それを無理数としたとしても、その数が《たった一つ》に決まるとどうしていえるんでしょうか。 もしかしたら、 $(A,B)$ というひとつの切断で、二つの無理数が決まるかもしれませんよね？　そこが《もやもや》しているんです！」

僕「なるほど……」

テトラ「でも、先輩！　不思議です。 先輩にこうやってお話ししていると、それだけで何だか心が整理されていくようです。 ひとりでずっと考えているのとは違いますね」

僕「人に話すと整理されるからね……ところで、 テトラちゃんのその疑問については、以前議論しなかったっけ。 ほらテトラちゃんが（ケース4）がありうるかどうかを気にして」

テトラ「それは、（ケース4）がありうるかどうかの話だったと思います。 もう（ケース4）がありうるのはわかります。 あたしが悩んでいるのは、（ケース4）の切断 $(A,B)$ で、 $A$ と $B$ の間に入る無理数が《複数個》存在することはありえないのか、ということなんですが」

僕「そうか……いやいやわかったぞ！　それは簡単な話だよ。 複数個存在することは《ない》ね。証明もできるよ」

テトラ「そうなんですか！」

僕「$A$ と $B$ の間に入る二つの無理数があったとする。 ちゃんというと、 $$ \max A < a < b < \min B $$ という無理数 $a,b$ が存在したと仮定する。そういうことだよね？」

テトラ「そうです、そうです！　 切断 $(A,B)$ で、 $A$ と $B$ の間には複数の無理数があってもおかしくないです！　 $2$ 個の無理数といわず、 無数の無理数があいだに入るかも知れませんし！」

僕「$a$ と $b$ を具体的に書くと、たとえば、こんなふうになるはずだよね。 $\clubsuit$ と $\diamondsuit$ は《どこか》が違う数字列として」

$$ \left\{\begin{array}{llll} a &= 1.41421356\underbrace{\cdots}_{\clubsuit} \\ b &= 1.41421356\underbrace{\cdots}_{\diamondsuit} \\ \end{array}\right. $$

テトラ「……はい、そうです。 $a < b$ ということは、 $a \neq b$ ですから、 $a$ と $b$ の数字はどこかで違っています」

僕「テトラちゃん、そこだよ。いまテトラちゃんが言ったことに証明のカギがある。 無理数 $a$ と $b$ を書き表したとき、どこかの桁で初めて数字が違うなら、その桁に注目すればいい。こんなふうに」

$$ \left\{\begin{array}{llll} a &= \underbrace{1.41421356\cdots}_{\heartsuit}4\cdots \\ b &= \underbrace{1.41421356\cdots}_{\heartsuit}5\cdots \\ \end{array}\right. $$

僕「いまは仮に $a$ は $4$ で、 $b$ は $5$ としたけど、なんでもいいよ」

テトラ「この $\heartsuit$ の部分はすべて同じ数字列ということですね……だめです。 やっぱり、あたし、考える力、弱いです。やっぱり $a$ と $b$ 以外にも無数の無理数があるとしか思えません」

僕「《求めるものは何か》だよ。僕たちはいま、何を求めているんだろう」

テトラ「無数の無理数……」

僕「じゃないよ。僕たちは、 $\max A < a < b < \min B$ という $2$ 個の無理数が存在するという仮定からスタートした。 僕たちは《背理法》で証明しようとしているんだよ？」

テトラ「あっ、矛盾です！　あたしたちは矛盾を求めているんです！　……でも、やっぱりわかりません」

僕「《与えられているものは何か》はどうだろう」

テトラ「あたしたちに与えられているもの……それは切断 $(A,B)$ です。《有理数全体の集合》を $A,B$ に分けました」

僕「ということは、 $a$ と $b$ のあいだに有理数は存在しないはずだよね？」

テトラ「それはそうです。モーセが海を分けたように、有理数は左右にわかれて……わかれて……わかりました！　さっきの《数字が変わる桁》ですね！」

僕「そうそう」

テトラ「$b$ の《しっぽ》を切ってしまえば、有理数 $c$ が作れます！　すると $a < c < b$ になりますから、 $c$ は $A$ にも $B$ にも属しませんね……有理数なのに！」

$$ \left\{\begin{array}{llll} a &= \underbrace{1.41421356\cdots}_{\heartsuit}4\cdots && \REMTEXT{無理数} \\ c &= \underbrace{1.41421356\cdots}_{\heartsuit}5 && \REMTEXT{有理数を作った} \\ b &= \underbrace{1.41421356\cdots}_{\heartsuit}5\cdots && \REMTEXT{無理数} \\ \end{array}\right. $$

僕「そうだね。いまは $4$ や $5$ という具体的な数でやっちゃったけれど、それで証明はおわりになるよ」

テトラ「なるほどです！　こういうことですね」

• $\max A < a < b < \min B$ を満たす無理数 $a$ と $b$ があると仮定します。
• $a$ と $b$ を小数で表記したとき、どこかで初めて数字が異なる桁があります。
• $b$ の、その桁以降を切り捨てた数 $c$ を考えれば、 $c$ は有理数になります。
• $c$ は有理数なのに、 $A$ にも $B$ にも属しません。
• ということは $(A,B)$ が《有理数全体の集合》の切断であることに矛盾しています。
• ですから、仮定のような無理数 $a,b$ を得ることはできません。

僕「そうだね。これでテトラちゃんの《もやもや》は解決……どうしたの？」

テトラ「情けないです……。こんなに簡単なことなのに、どうして自力で解決できないんでしょう。 切断、有理数、無理数、背理法、あたしはわかっていたつもりなのに。 先輩の答えを聞いたあとは、もう『あたりまえ』としか思えないのに、 どうして、あたしは、答えを聞くまでわからないんでしょう」