第289回 シーズン29 エピソード9

音楽と数学：表現と探求（前編）

双倉図書館にて

僕「……そうか、ということは同じルールで格子は広がっていくぞ！」

テトラ「こちらが解答パネルになります」

僕「おもしろい、おもしろい。素因数を使った座標平面みたいだ」

ユーリ「座標平面？」

僕「だってそうだよ。このオイラー格子に出てくる音はみな、基準になる $C$ に対して、 $3^m5^n$ 倍になっている音」

ユーリ「$2$ の冪乗倍は無視して……だよね？」

僕「そうそう。それで、たとえば $C$ は $1$ 倍だから、 $1 = 3^05^0$ だけど、これは $(m,n) = (0,0)$ と見なせる」

ユーリ「ああ……それで座標？」

僕「うん、たとえば、 $G$ は $(m,n) = (1,0)$ だし、 $A$ は $(m,n) = (-1,1)$ になる」

ユーリの疑問

ユーリ「むむむ……ちょっと待った。このオイラー格子には同じ名前の音が出てくるよ。 $A$ は $(-1,1)$ にもあるけど、 $(3,0)$ にもある！」

テトラ「本当ですね……オイラー格子の中には二箇所に同じ名前の音が出てきます。 $C$ を $3^m5^n$ 倍したことを $(m,n)$ で表すなら、 $A$ は二つあります」

• $(-1,1)$ のところにある $A$
• $(3,0)$ のところにある $A$

ユーリ「テトラさんはもう答えを見たんじゃないの？」

テトラ「いえ、ユーリちゃんが気付いたこのことは、 クイズパネルにはなっていませんでした。 ですから、解答パネルもありません。 あたしも、同じ音名が出てくることには気付きませんでした……」

ユーリ「そんじゃ、答え、ないじゃん！」

僕「いやいや、これは《答えを教えてもらう問題》じゃないよ。 僕たちは十分な手がかりを持っていると思う。 だからこれは《答えを考えていく問題》なんだ。考えよう」

僕「たぶん、わかったと思う」

テトラ「おそらく……こういうことでしょうか」

ユーリ「えー、まだわかんない。だって違うのに同じって変じゃん」

僕「こういうことだと思うんだけど、話してもいい？」

ユーリ「……いーよ」

僕「オイラー格子がどういうものかを考えて見当をつけたんだ。 $(-1,1)$ にある $A$ のことを $A(-1,1)$ と書くことにする。 $A(-1,1)$ の周波数は、 $C$ の周波数に対して、 $2^j3^{-1}5^1$ 倍になる。 $2$ の冪乗倍を無視するというのが表現しにくいから $2^j$ と仮に書いておくよ。 だから、たとえば、 $$ A(-1, 1) = C(0,0) \times 2^j \times 5/3 $$ のように書ける」

ユーリ「んー、その $5/3$ はテトラさんが作ってくれた純正律の楽譜の $5/3$ と同じことだよね？（第288回参照）」

僕「そうだね。 $j = 0$ の場合はそうだよ。 $j = 1,2,3,\ldots$ と増やしていけば $1,2,3,\ldots$ オクターブ上の $A(-1,1)$ になり、 $j = -1,-2,-3,\ldots$ と減らしていけば $1,2,3,\ldots$ オクターブ下の $A(-1,1)$ になる」

テトラ「あっ、ということはオイラー格子は地層のように積み重なっているんですねっ！」

ユーリ「おー！」

僕「おお……すごいな！」

テトラ「あ、す、すみません。お話の続きを……」

僕「ええと、だから $A(-1,1)$ はたとえば $C$ の $5/3$ 倍かもしれない。 同じように考えると、 $A(3,0)$ はどうだろうか」

ユーリ「そりゃ $3^3$ だから $27$ 倍でしょ？　それの $2^j$ 倍」

僕「そうだね。でも混乱しないように別の文字 $k$ を使って $2^k$ 倍としようか。だから、たとえば、 $$ A(3, 0) = C(0,0) \times 2^k \times 27 $$ のように書ける」

ユーリ「……」

僕「だから、僕たちの注目すべきところは、 $A(-1,1)$ に出てきた $2^j \times 5/3$ と、 $A(3, 0)$ に出てきた $2^k \times 27$ はどんな意味で同じか？ なんだと思うよ」

ユーリ「全然違うじゃん」

僕「$2^j \times 5/3$ で、 $j = 0$ として、分数表記じゃなくて小数表記にしてみよう。そうすると、 $$ \begin{align*} 2^0 \times 5/3 &= 1.666\cdots \end{align*} $$ になるよね。 $C$ の周波数を $1.666\cdots$ 倍すると $A(-1,1)$ になる」

ユーリ「あっ、そっか！　わかった！　 $k$ を動かして $2^k \times 27$ を計算すると $1.666\cdots$ に近くなる？」

テトラ「きっとそうですよ！」

僕「やってみよう！」