第394回 シーズン40 エピソード4

パスカルの三角形、もっと（後編）

パスカルの三角形の各行を足し合わせると？

僕「パスカルの三角形に出てきた $1 4 6 4 1$ を足し合わせると、 $16$ 通りになる。 $$ 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 $$ それから二進法 $4$ 桁の数は、 $4$ 桁のそれぞれが $0$ または $1$ の $2$ 通りあるから、 ぜんぶで $16$ 個ある」

$$ 2\times 2\times 2\times 2 = 2^4 = 16 $$

ユーリ「すごい偶然——んにゃ、偶然じゃない。 パスカルの三角形のどの行でも同じはず！」

僕「そうだね。 パスカルの三角形の $n$ 行目の数をすべて加えると、 $2^n$ になる」

ユーリ「おもしろーい！」

僕「こういうの、おもしろいんだ」

ユーリ「おもしろいよー！　高く評価したげよう」

僕「偉そうだな」

ユーリ「おもしろいってことさ！」

僕「でも、どうして $2^n$ になるかわかる？」

ユーリ「わかるよん。パスカルの三角形をてっぺんから降りてくる道筋でわかる」

僕「なるほど」

ユーリ「$n$ 行目まで降りてくるのに $n$ 回、 $\RA$ を選ぶかどうかを決めるんでしょ。てことは——

• $1$ 行目に降りるとき $\RA$ を選ぶかどうかで、 $2$ 通り。
• $2$ 行目に降りるとき $\RA$ を選ぶかどうかで、 $2$ 通り。
• $3$ 行目に降りるとき $\RA$ を選ぶかどうかで、 $2$ 通り。
• ……
• $n$ 行目に降りるとき $\RA$ を選ぶかどうかで、 $2$ 通り。

——だから、 $n$ 個の $2$ を掛ける！」

僕「すばらしいなあ！」

ユーリ「これ、お兄ちゃんに教えてもらった覚えがある」

僕「そうだっけ」

ユーリ「そーだよ。パスカルの三角形で一段下がるたびに $2$ 倍になるんでしょ」

僕「そうだね。パスカルの三角形を作るときに、 左上の数と右上の数を二つ加えるけれど、 それは見方を変えれば、各行の数を $2$ 倍にして次の行を作っていることになる。 だから、一段下がるごとに行の合計が $2$ 倍になるのは当然といえば当然」

ユーリ「ふーん……これって、 $1 3 3 1$ をずらして足すと、 $1 4 6 4 1$ になるってことだね……」

僕「ああ、そうなるね。 左に落ちる $1 3 3 1$ と 右に落ちる $1 3 3 1$ をずらして足すと $1 4 6 4 1$ になる。 だから、一段下がるたびに合計は $2$ 倍になる」

$$ \begin{array}{cccccccc} 1+3+3+1 & + & 1+3+3+1 &=& 1 + 4 + 6 + 4 + 1 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 8 & + & 8 &=& 16 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 2^3 & + & 2^3 &=& 2^4 \end{array} $$

ユーリ「バイバインだにゃ（・・）」

僕「バイバイン？」

ユーリ「ドラえもんのひみつ道具。バイバインは何でも増やす薬だよん！」

僕「いや、知らないなあ」

ユーリ「栗まんじゅうに一滴垂らすと、 $5$ 分ごとに倍々に増えてくんだよ」

僕「それはヤバい」

ユーリ「ヤバいよね」

$1 + 1 = 2$

僕「ところで、 $2$ を $n$ 個掛ける $2^n$ は、こんなふうに表すこともできるよ」

ユーリ「そりゃそーだ。 $1 + 1 = 2$ だもん」

僕「$n$ 個出てくる $(1+1)$ という式をよく見る。そして——

• 左の $1$ を《$\LA$ を選ぶ》ことに見立てる。
• 右の $1$ を《$\RA$ を選ぶ》ことに見立てる。

——ことにするんだ。こんなふうに対応付けるんだよ」

ユーリ「何言ってるかイミわかんない」

僕「たとえば、 $n = 4$ を考えてみると、 $2^4$ は $$ (1+1)\times (1+1)\times (1+1)\times (1+1) $$ という掛け算になる。ふつうは $1+1$ を先に計算するけれど、式の展開を考えるなら、 $4$ 個の $(1+1)$ のどちらか片方から $1$ を選んで掛け算することがわかる」

ユーリ「うーん……」

僕「実際に書いてみた方が早いかな。 $16$ 個の場合が出てくる様子がわかるから」

ユーリ「ははーん……お兄ちゃんの言いたいことは何となくわかった。 見立てるってそーゆー意味ね。 $(1+1)$ のどっちの $1$ を選ぶかで、 $\LA$ と $\RA$ のどっちを選ぶかを決める」

僕「うん、そうだよ」

ユーリ「雰囲気はわかったし、 $16$ 通り——つまり $2^4$ 通り——が出てくるのはわかったけど、計算として意味あんの、これ？」

僕「よく考えればわかるよ。たとえば、 $(a + A)(b + B)$ という式を展開するときは、こんな計算になる。 $$ \begin{align*} (a + A)(b + B) &= a(b + B) + A(b + B) \\ &= a b + a B + A b + A B \end{align*} $$ になるけど、さっきと同じように、 $(a + A)$ と $(b + B)$ のそれぞれから一つずつ選んで掛け算して、それを全部足してる。 これは、 $(a+A)(b+B)(c+C)(d+D)$ を計算するときでも同じ」

ユーリ「むむ……」

僕「……」

ユーリ「……でもって、それぞれから一つずつ選ぶってことだから。あー、わかったよ。 さっきの $(1+1)\times(1+1)\times(1+1)\times(1+1)$ のときは、 $1\times1\times1\times1 = 1$ を $16$ 個足してるってことか！　その選び方が $1$ 通りあることにつながってるんだ。わかった！」