第397回 シーズン40 エピソード7

素数を法とする世界（前編）

僕の部屋

僕「瑞谷先生の『下校時間です』宣言が来てしまったから、 あの場ではそれ以上の探求はできなかったけれど、 気になることがある。 それはこの（Ａ）の逆は成り立つか、ということだ。 （Ａ）の逆の命題を（Ｂ）としよう」

僕「テトラちゃんと二人でパスカルの三角形を作った範囲では、 （Ａ）はもちろんのこと、（Ｂ）も成り立っているのを確かめた」

僕「（Ａ）と（Ｂ）の両方が成り立つというのはどういうことかというと、 《両端以外がすべて $n$ の倍数》と《$n$ は素数》とが同値だということだ。 僕たちが調べた $2 \LEQ n \LEQ 11$ という範囲に限れば、 《両端以外がすべて $n$ の倍数》なのは、 $$ n = 2,3,5,7,11 $$ であり、そしてそれはまさしく、 $2 \LEQ n \LEQ 11$ という範囲で《$n$ は素数》にほかならない。 でもそれは、あくまで $2 \LEQ n \LEQ 11$ というわずかな範囲で調べた結果に過ぎない。 整数は無数にある。素数も無数にある。 だから、（Ｂ）が成り立つことを言うためには——無限を出し抜くためには——証明がどうしても必要になるんだ」

母「まだ起きてるの？　あまり遅くまで根を詰めないで。睡眠重要よ」

僕「わかってるよ」

母「ねえ、温かいハーブティでもいれる？　ほっとしてよく眠れるわよ」

僕「いらない。いま忙しいんだけどな」

母「はいはい。それじゃ、おやすみなさい」

僕「あ……うん、おやすみ。ありがとう」

僕「いきなり一般的な証明に取りかかる前に《小さな $n$ で確かめる》ことにしよう。 小さな $n$ で何を確かめるかというと……何を確かめるんだ？　 証明する前には、証明したい命題をはっきりさせておく必要がある。 さもないと、どこに向かうかわからないまま、旅に出るような事態になるから。 注意深く考えていこう」

• 《$n$ は素数である》を $P(n)$ とする。
• 《$0 < r < n$ を満たす任意の整数 $r$ について、 $\BINOM{n}{r}$ は $n$ の倍数である》を $Q(n)$ とする。

僕「こんなふうに $P(n)$ と $Q(n)$ を定めると、（Ａ）と（Ｂ）の違いがよくわかる」

• （Ａ）は「$2$ 以上の任意の整数 $n$ について、 $P(n)$ ならば $Q(n)$」で、
• （Ｂ）は「$2$ 以上の任意の整数 $n$ について、 $Q(n)$ ならば $P(n)$」だ。

僕「うん。僕はいま（Ｂ）について調べたい。 だから《小さな $n$ で確かめる》というのは 小さな $n$ について、本当に《$Q(n)$ ならば $P(n)$》かどうかを確かめることになる。 そうやっていけば、（Ｂ）について具体的なイメージが浮かび、 理解が深まるはずだ」

僕「なぜ対偶を考えた方がいいかというとね、テトラちゃん——って、ここにはいないけど」

僕「なぜ対偶を考えるか。 ある命題とその対偶となる命題は同値になる。 だから、どちらを証明してもいい。 証明したい命題（Ｂ）の対偶は、

　 $2$ 以上の任意の整数 $n$ について、 $\LNOT P(n)$ ならば $\LNOT Q(n)$

になる。 $\LNOT P(n)$ は《$n$ は素数ではない》ということだから、 $n \GEQ 2$ であることを考えると、 $n$ は二つ以上の素数の積で表せる数になる。すなわち《$n$ は合成数》だ」

• $\LNOT P(n)$ は《$n$ は合成数》ということ。

僕「だから、合成数の $n$ を具体的に用意してやれば、 $$ \BINOM{n}{1}, \BINOM{n}{2}, \BINOM{n}{3}, \ldots, \BINOM{n}{n-1} $$ の中には《$n$ の倍数じゃないもの》が少なくとも一つあることが予想される。 そして、小さな合成数 $n$ を具体的に考えれば、 そのような《$n$ の倍数ではない $\BINOM{n}{r}$》もまた、 具体的に見つけることができる。 そのような、 $$ \text{$n$の倍数ではない}\,\BINOM{n}{r} $$ が証明のカギになるはずだ」

僕「だって、もしも $\BINOM{n}{r}$ のすべてが $n$ の倍数になったら、 そのときの $n$ は（Ｂ）に対する反例となるからだよ。 いま僕は（Ｂ）が成り立つと予想しているから、 《$n$ の倍数ではない $\BINOM{n}{r}$》 の存在に注目したい。 それは証明を導くために重要な特徴を持っているはずなんだ——よし、 小さな合成数 $n$ で実験しよう！」

$n = 4$ の場合

僕「$2$ と $3$ は素数だから、最小の合成数は $4$ だ。 $\BINOM{4}{r}$ が $4$ の倍数にならないものを見つけていく」

$n = 6$ の場合

僕「$5$ は素数だから、次の合成数は $6$ だ。 $\BINOM{6}{r}$ が $6$ の倍数にならないものに注目する」

$n = 8$ の場合

僕「$7$ は素数だから、次の合成数は $8$ だ。 $\BINOM{8}{r}$ が $8$ の倍数にならないものに注目する」

$n = 9$ の場合

僕「次の合成数は $9$ だ。 $\BINOM{9}{r}$ が $9$ の倍数にならないものに注目する」

僕「なるほど、なるほど！　 $n$ が合成数のときに、 $\BINOM{n}{r}$ の中には確かに、 $n$ の倍数じゃないものが存在する。それは、小さな合成数 $n$ で実験した結果、 $$ \begin{align*} \BINOM{4}{2} &= \frac{\CANCEL{4}^2\times3}{\CANCEL{2}\times1} \\ \BINOM{6}{2} &= \frac{\CANCEL{6}^3\times5}{\CANCEL{2}\times1} \\ \BINOM{8}{2} &= \frac{\CANCEL{8}^4\times7}{\CANCEL{2}\times1} \\ \BINOM{9}{3} &= \frac{\CANCEL{9}^3\times\CANCEL{8}^4\times7}{\CANCEL{3}\times\CANCEL{2}\times1} \end{align*} $$ に注目してはっきりわかった。うん、読み切ったぞ！　きっと $\BINOM{49}{7}$ は $49$ の倍数じゃないはずだ。 $$ \BINOM{49}{7} = \frac{\CANCEL{49}^7\times48\times47\times46\times45\times44\times43}{\CANCEL{7}^1\times6\times5\times4\times3\times2\times1} $$ $48$ から $43$ までの間に $7$ の倍数はないから、 $\BINOM{49}{7}$ は確かに $49$ の倍数ではない。 よーしよし！　これで（Ｂ）を証明できる！」