第412回 シーズン42 エピソード2

「これ、なーんだ！」（後編）

距離というパスポートを手にして

僕「距離なんだよ」

ユーリ「きょり？」

僕「僕たちは《平面の世界》で考えている距離という概念を、《格子点の世界》に移した。 それによって、《平面の世界》にある円が自然と《格子点の世界》の《円》に移ったんだ。 だから、 距離という概念は《平面の世界》と《格子点の世界》を行き来する《パスポート》のようなものなんだ！」

ユーリ「……」

僕「何を言ってるかわかる？」

ユーリ「うーん……わかるような、わからないような」

僕「円の定義を思い出せばわかるよ」

ユーリ「平面上で、一点から等距離にある点全体の集合。 ああ、等距離ってところ？」

僕「そう、そうなんだ。 《格子点の世界》での距離が定義できたから、 《半径》という概念を持ち込むことができて、 それで《円》という概念を持ち込むことができたといえる」

ユーリ「うん、それはわかる。だからこれは《円》になるんでしょ？　《中心》から $3$ 歩で行ける点の集まりだから」

僕「そういうこと。 ということは、距離を使って定義されている図形ならば、 円以外の図形も《格子点の世界》に持ってくることができることになる！」

ユーリ「距離を使って定義されてる図形……って、円以外にある？」

僕「もちろんあるよ。たとえば楕円（だえん）だね」

楕円を考えよう

ユーリ「楕円って、円をつぶした形だよね……距離って？」

僕「楕円の描き方を思い出せばわかるよ。手で楕円を描くときのこと」

ユーリ「楕円の描き方？……あ！　二本のピンに糸を張る奴！　思い出した！」

僕「そうだね。平面上で、固定した二点からの距離の和が一定の点全体の集合。それは楕円になる。

ユーリ「そかそか。格子点を二つ決めて、同じことやればいいんだね！」

僕「うん。距離は歩数で考える。 つまり、二点を $A$ と $B$ にすれば、 $A$ から歩いて《楕円》上の点まで行って、 そこから戻って $B$ まで来たときに一定の歩数になればいい」

ユーリ「行って戻る……それでうまく描ける？」

僕「ええと、そうだなあ。 $A$ から行って $B$ に戻るんじゃない方がいいかな。 $A$ から $a$ 歩の点をぜんぶ描きあげて、 $B$ から $b$ 歩の点をぜんぶ描きあげて、 両方の共通部分を考えた方がいいかも。 つまり、二つの《円》を描くわけだ。《半径》が $a$ と $b$ の《円》だね」

ユーリ「二つの《円》……」

僕「そして $a + b$ が一定の数になるような $a$ と $b$ の組み合わせをぜんぶ考える」

ユーリ「あっ、お兄ちゃん。もう何も言わないで。言っちゃダメ。ユーリ完全に理解した。描いてみる！」

僕「はいはい」

$a+b=4$ の場合

ユーリ「$A$ から $a$ 歩で、 $B$ から $b$ 歩で、 $a+b$ を一定にするんだよね。えーと……何歩にすればいい？」

僕「……」

ユーリ「ねー！　無視しないでよー！」

僕「何も言っちゃ駄目なんだろ？」

ユーリ「意地悪」

僕「とりあえず、 $a+b$ をあまり小さくしたらまずいよね。 $A$ と $B$ の距離 $AB$ がそもそも $4$ だから……」

ユーリ「そっか。 $AB=4$ だから、 $a+b$ は $4$ 以上じゃないとまずいか……だって、 $a+b = 4$ になる点は、 ちょうど真ん中にある一点しかないもんね？」

僕「え？」

ユーリ「え、違う？　 $A$ から $2$ 歩と、 $B$ から $2$ 歩……じゃない？」

僕「$a=2,b=2$ の場合は確かに $a+b=4$ になるけど、 $a=1,b=3$ でも $a+b=4$ になるよ」

ユーリ「あっ、そーか。だったら——」

僕「それからさらに、 $a=0,b=4$ でも $a+b = 4$ になる」

ユーリ「いま、ユーリがそれ言おうと思ったのに！」

僕「はいはい」

ユーリ「……ってことは、 $a + b = 4$ になる《楕円》は、 この $5$ 点ってことかにゃ（・・）？」

僕「そうなるね」

ユーリ「ぜんぜん楕円っぽくなーい！」

僕「それは二点間の距離 $AB$ と $a+b$ が等しいからだね。 普通の平面上に描く楕円でいうなら、二つのピンに渡す糸が全然たるんでいない状態と同じだ」

ユーリ「あー確かに！ぺしゃんこになったのかー。 もうちょい、ゆとりがいるんだね。じゃあ、 $a+b = 4$ じゃなくて、 $a+b=5$ でやってみるー。 何もヒント言っちゃ駄目だかんね」

僕「はいはい」

$a+b=5$ の場合

ユーリ「うー……おかしい」

僕「$a+b=5$ だと《楕円》はどうなった？」