第413回 シーズン42 エピソード3

《距離》という名のパスポート（前編）

《格子点の世界》で《楕円》を描く

ユーリ「……そんでもって、 結局 $a+b=6$ になる《楕円》はこうなった！　完成！　たとえばこの点 $Q$ は $A$ から $2$ 歩、 $B$ から $4$ 歩のところにある！」

僕「……この《格子点の世界》の《楕円》は、《平面の世界》における楕円の面影があるなあ」

ユーリ「んー、でもこの大きさだと、小さくってちょっと物足りない感じ。 たとえば $a+b=8$ なら、もっと大きな《楕円》になるよね？」

僕「もちろん、そうなるね。そして $a+b$ を大きくすればするほど《楕円》は《円》に近づくんじゃないかな？」

ユーリ「$a+b=8$ の《楕円》を描いてみる！　《半径》が $a$ の《円》と、 《半径》が $b$ の《円》を描けばいいから、すぐできる！」

$a+b=8$ の《楕円》を描こう

僕「どう？」

ユーリ「$a = 1$ と $b = 7$ だと交点ができなかったけど、 $a = 2$ と $b = 6$ なら、こんな感じになったよ」

僕「なるほど。《格子点の世界》なら、 $a=2,b=6$ の二つの《円》は $5$ 個の点を共有するんだね。 《平面の世界》だと、二つの円が $5$ 個の点を共有するなんてことはありえない。 $0$ 個か、 $1$ 個か、 $2$ 個かしかありえない」

ユーリ「んーにゃ、違うね！ 《平面の世界》だったら無限個の点を共有すること、あるじゃん」

僕「ん？　ああ、確かに。中心が同じで半径が等しい二つの円が一致するときだね。 確かにそれは無数の点を共有してるといえる。鋭いな、ユーリ」

ユーリ「ふふーん……それにしてもさー、これ面白いよね。 二つの《円》は $5$ 個の点を共有していて——これって、面白いね！」

僕「何が？　何がそんなに面白い？」

ユーリ「あの、あのね。 この $5$ 個の点って——《半円》だよね！」

僕「あはは！　まったくだ。《半円》だね！　ということは、 $a=2,b=6$ は半円で接してるんだ！」

ユーリ「だよね！　ものすごい接し方！　《半円》で接するんだって、あはは！」

僕「……ああ、笑った。いったい何がおかしいんだろう」

ユーリ「お兄ちゃんがゲラゲラ笑うから、つられてユーリも笑ったじゃん！」

僕「いやいや。いまは $a+b=8$ の《楕円》を描こうとしてたんだよね。ぜんぜん進まないなあ」

ユーリ「ちゃちゃっと描く！　 $a = 3$ で $b = 5$ だと、 二つの《円》は二点で交わるよ。こーなった」

僕「$a = 4$ と $b = 4$ は僕も描きたいな」

ユーリ「描かせてあげよう！」

僕「あとは左右の対称性から、 $a+b=8$ の《楕円》全体を描くことができるな。 たとえばこの点 $Q$ は点 $A$ から $3$ 歩、点 $B$ から $5$ 歩になっていて、 $3+5=8$ だ。 他の点もぜんぶ $a+b=8$ になっている。 確かにこれも楕円の面影がある。……ユーリ？」

ユーリ「……」

僕「ユーリは何を考えてるんだろう」

ユーリ「……あのね。ユーリ、見えちゃったよ」

僕「何が？」

ユーリ「《格子点の世界》の《垂直二等分線》！」